Question

5．如圖所示，BCDG是光滑絕緣的$\frac{3}{4}$圓形軌道，位于豎直平面內(nèi)，軌道半徑為R，下端與水平絕緣軌道在B點(diǎn)平滑連接，整個(gè)軌道處在水平向左的勻強(qiáng)電場中，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶正電的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）置于水平軌道上，滑塊受到的電場力大小為$\frac{3}{4}$mg，滑塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，重力加速度為g．
（1）若滑塊從水平軌道上距離B點(diǎn)s=3R的A點(diǎn)由靜止釋放，求滑塊到達(dá)與圓心O等高的C點(diǎn)時(shí)，受到軌道的作用力大��？
（2）改變s的大小，使滑塊恰好始終沿軌道滑行，且從G點(diǎn)飛出，求滑塊在圓軌道上滑行過程中的最小速度大小？
（3）在（2）問中，求s的大��？

Answer 1

分析 本題是電場的能量性質(zhì)與圓周運(yùn)動(dòng)的綜合問題：滑塊從A點(diǎn)在電場力作用下做加速運(yùn)動(dòng)，然后沖上一$\frac{3}{4}$圓形軌道做圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）沖到C點(diǎn)時(shí)，由動(dòng)能定理求出C點(diǎn)的速度，從而求出向心力，而此刻軌道的支持與電場力的合力提供向心力，所以支持力就求出來了．
（2）使滑塊恰好始終沿軌道滑行，則能滑到“最高點(diǎn)”--離合力方向最遠(yuǎn)處．這要求出合力的方向，找到在圓軌道的最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)恰好由合力提供向心力，軌道無彈力．
（3）在第二問的基礎(chǔ)上由動(dòng)能定理求出開始滑行時(shí)距B點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）A到C，由動(dòng)能定理得：$F（S+R）-μmgS-mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}$  （此方程可AB和BC兩段列方程也能得相同結(jié)果）．
    而在C：$N-F=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$  
    解得：N=1.75mg                      
（2）電場力與重力的合力F′=$\sqrt{（mg）^{2}+（\frac{3}{4}mg）^{2}}=\frac{5}{4}mg$     方向與豎直方向夾角$θ=arctg\frac{\frac{3}{4}mg}{mg}=37°$
   當(dāng)合力F′恰好提供向心力時(shí)，速度最小$\frac{5}{4}mg=\frac{m{{v}_{min}}^{2}}{R}$               
   所以：${v}_{min}=\frac{\sqrt{5gR}}{2}$                                   
（3）從A到速度最小的點(diǎn)全程動(dòng)能定理：
   qE（s-Rsin37°）-μmgs-mgR（1+cos37°）=$\frac{1}{2}m{{v}_{min}}^{2}-0$          
   代入解得：s=11.5R                                            
答：（1）若滑塊從水平軌道上距離B點(diǎn)s=3R的A點(diǎn)由靜止釋放，滑塊到達(dá)與圓心O等高的C點(diǎn)時(shí)，受到軌道的作用力大小為1.75mg．
（2）改變s的大小，使滑塊恰好始終沿軌道滑行，且從G點(diǎn)飛出，滑塊在圓軌道上滑行過程中的最小速度大小為$\frac{\sqrt{5gR}}{2}$．
（3）在（2）問中，s的大小是11.5R．

點(diǎn)評(píng) 圓周運(yùn)動(dòng)的問題往往求最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的彈力問題，但此題由于滑塊處于水平的電場中，所以例外的求滑塊在最右邊緣的速度，但這仍然是特殊點(diǎn)無多大難度．其次在回返軌道上滑行的最小速度，這可以類比于在重力場中速度最小在最高點(diǎn)，此題的“最高點(diǎn)”應(yīng)從等效重力力--即合力方向來分析“最高點(diǎn)”的位置．