Question

11．如圖（a）所示，左為某同學(xué)設(shè)想的粒子速度選擇裝置，由水平轉(zhuǎn)軸及兩個(gè)薄盤N₁、N₂構(gòu)成，兩盤面平行且與轉(zhuǎn)軸垂直，相距為L(zhǎng)，盤上各開(kāi)一狹縫，兩狹縫夾角θ可調(diào)[如圖（b）]；右為水平放置的長(zhǎng)為d的感光板，板的正上方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．帶正電的粒子經(jīng)電壓為U的電場(chǎng)加速后沿水平方向射入N₁，能通過(guò)N₂的粒子經(jīng)O點(diǎn)垂直進(jìn)入磁場(chǎng)． O到感光板的距離為0.5d，粒子電荷量為q，質(zhì)量為m，不計(jì)重力． 

（1）若兩狹縫平行且盤靜止[如圖（c）]，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，豎直向下打在感光板中心點(diǎn)M上，求：加速電場(chǎng)的電壓U和粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁；
（2）若兩狹縫夾角為θ₀，N₂盤以角速度ω₀勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖（b）． 要使粒子穿過(guò)N₁、N₂，加速電壓U的可能取值
（3）若兩狹縫夾角為θ₀，N₂盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖（b）．要使穿過(guò)N₁、N₂的粒子均打到感光板P₁P₂連線上，試分析盤轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω的取值范圍（設(shè)通過(guò)N₁的所有粒子在盤旋轉(zhuǎn)一圈的時(shí)間內(nèi)都能到達(dá)N₂）．

Answer 1

分析 （1）豎直向下打在感光板中心點(diǎn)M上，則其軌道對(duì)應(yīng)的圓心角為$\frac{π}{2}$，根據(jù)由幾何關(guān)系即可求得粒子運(yùn)動(dòng)的半徑；由動(dòng)能定理求加速的電壓．根據(jù)圓心角與周期的關(guān)系即可求得粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（2）粒子在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由t=$\frac{L}{v}$求出粒子通過(guò)兩窄縫的時(shí)間，在該時(shí)間內(nèi)，N₂盤轉(zhuǎn)過(guò)的角度為α=ω₀t，要使粒子穿過(guò)N₁、N₂，應(yīng)滿足：α=θ₀+2kπ，（k=0，1，2，3，…），再結(jié)合上題的結(jié)果求解電壓U的取值．
（3）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，確定圓心位置，根據(jù)幾何關(guān)系求解半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求解臨界速度，進(jìn)而求解角速度的范圍．

解答 解：（1）設(shè)打在M點(diǎn)上的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為r₁，速度為v₁，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁．
由題得 r₁=$\frac{1}{2}$d ①
由牛頓第二定律：Bqv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$ ②
由動(dòng)能定理得：qU₁=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$  ③
由①②③得：U₁=$\frac{q{B}^{2}yryjgnh^{2}}{8m}$ ④
勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期：T=$\frac{2πm}{qB}$ ⑤
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2qB}$ ⑥
（2）粒子通過(guò)兩窄縫的時(shí)間為 t=$\frac{L}{v}$ ⑦
這段時(shí)間內(nèi)，N₂盤轉(zhuǎn)過(guò)的角度為α，則 α=ω₀t=$\frac{{ω}_{0}L}{v}$ ⑧
要使粒子穿過(guò)N₁、N₂的雙窄縫，應(yīng)滿足：α=θ₀+2kπ，（k=0，1，2，3，…） ⑨
由③⑦⑧⑨解得：U=$\frac{m（{ω}_{0}L）^{2}}{2q（{θ}_{0}+2kπ）^{2}}$ （10）
（3）如圖所示，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)臨界半徑分別為r₂和r₃，對(duì)應(yīng)的速度分別為v₂和v₃．
則 r₂=$\frac{1}{4}$d （11）
${r}_{3}^{2}$=$（{r}_{3}-0.5d）^{2}+5kf53fc^{2}$ （12）
解得 r₃=1.25d （13）
解得 v₂=$\frac{qBd}{4m}$，v₃=$\frac{5qBd}{4m}$ （14）
依題意得：通過(guò)雙窄縫的角速度ω=$\frac{{θ}_{0}}{\frac{L}{v}}$=$\frac{{θ}_{0}v}{L}$ （15）
粒子要打在感光板上，要滿足的條件是：$\frac{{θ}_{0}qBd}{4mL}$≤ω≤$\frac{5{θ}_{0}qBd}{4mL}$ （16）
答：
（1）加速電場(chǎng)的電壓U是$\frac{q{B}^{2}6gbm9ik^{2}}{8m}$，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁是$\frac{πm}{2qB}$．
（2）要使粒子穿過(guò)N₁、N₂，加速電壓U的可能取值為：U=$\frac{m（{ω}_{0}L）^{2}}{2q（{θ}_{0}+2kπ）^{2}}$，（k=0，1，2，3，…）．
（3）盤轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω的取值范圍為$\frac{{θ}_{0}qBd}{4mL}$≤ω≤$\frac{5{θ}_{0}qBd}{4mL}$．

點(diǎn)評(píng) 帶點(diǎn)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，確定圓心和半徑為解題的關(guān)鍵，要求同學(xué)們能畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求解軌跡半徑．