Question

6． 如圖所示，S為離子源，從其小孔發(fā)射出電量為q的正離子（初速度為零），經(jīng)電為U的 電場加速后，沿O₁O₂方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場中，磁場被限制在以O(shè)為圓心，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于紙面向里．正離子從磁場中射出后，打在屏上的P點(diǎn)，偏轉(zhuǎn)距離O₂P與屏到O點(diǎn)的距離OO₂之比O₂P：OO₂=$\sqrt{3}$，
求：（1）正離子的質(zhì)量
（2）正離子通過磁場所需的時(shí)間．

Answer 1

分析 在加速電場中根據(jù)動能定理求出進(jìn)入磁場的速度，而在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，朝著圓心射去，則離開磁場時(shí)也是背向圓心方向射出的．畫出在磁場中的軌跡，由幾何關(guān)系確定偏轉(zhuǎn)角的大小，這為求出通過磁場所需時(shí)間作鋪墊．同時(shí)，也由幾何關(guān)系能求出做圓周運(yùn)動的半徑R和圓形磁場半徑r的關(guān)系，由洛侖茲力提供向心力確定離子的質(zhì)量．

解答 解：（1）離子在電場中加速：
     $Uq=\frac{1}{2}m{v}^{2}$   ①
  進(jìn)入磁場后由牛頓第二定律有：
     $qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$   ②
  從而得到半徑：$R=\frac{mv}{qB}$，周期：$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2π\(zhòng)frac{mv}{qB}}{v}=\frac{2πm}{qB}$
  由幾何關(guān)系有：在△OO₁O′中，$tg\frac{θ}{2}=\frac{r}{R}$    ③
      $tgθ=\frac{{O}_{2}P}{O{O}_{2}}$        ④
  由題意知：O₂P：OO₂=$\sqrt{3}$     而在直角△OO₂P中$tgθ=\frac{{O}_{2}P}{O{O}_{2}}$，所以θ=60°
   聯(lián)立以上幾式可得：$m=\frac{3{B}^{2}{r}^{2}q}{2U}$
（2）由以上分析也可以看出：粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)了60°，在磁場中運(yùn)動的時(shí)間：
      $t=\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}\frac{2πm}{qB}=\frac{π\(zhòng)frac{3{B}^{2}{r}^{2}q}{2U}}{3qB}$=$\frac{πB{r}^{2}}{2U}$．
答：（1）正離子的質(zhì)量為$\frac{{3B}^{2}{r}^{2}q}{2U}$．
（2）正離子通過磁場所需的時(shí)間為$\frac{πB{r}^{2}}{2U}$．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于離子被加速后向圓心方向射去，則射出時(shí)是背向圓心方向的．另外還有兩個(gè)直角三角形，由直角△OO₁O′的關(guān)系找到R與r的關(guān)系，由直角△OO₂P的幾何關(guān)系找到偏轉(zhuǎn)角的度數(shù)．結(jié)合電磁學(xué)和力學(xué)相關(guān)內(nèi)容，可以求出離子的質(zhì)量和離子在磁場中的時(shí)間．