Question

【題目】打樁機(jī)的鐵塔高度為，錘的質(zhì)量；鋼筋混凝土樁的質(zhì)量，樁的橫截面為正方形，其邊長(zhǎng)．樁在被打入地下的過(guò)程中，其阻力可以認(rèn)為主要來(lái)自樁側(cè)面泥土對(duì)其的黏滯作用，且阻力系數(shù)為，當(dāng)樁已被打入地下時(shí)，再把錘升高，然后自由落下打擊樁．假設(shè)碰撞過(guò)程是完全非彈性碰撞，試回答下列問(wèn)題：

（1）這一錘能把樁再打多深？

（2）打樁的效率（用于推進(jìn)樁的能量與錘打擊樁的能量之比）為多少？

（3）如果碰撞過(guò)程是彈性碰撞，其恢復(fù)因數(shù)，重新分析問(wèn)題（1）和（2）．

Answer 1

【答案】（1） （2）％ （3） ％

【解析】

（1）當(dāng)錘下落高度時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，其速度為

①

由于是非彈性碰撞，對(duì)于樁和錘組成的系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有

②

聯(lián)立式①與式②，可得碰撞后樁和錘的共同速度為

③

設(shè)這一錘能把樁打入的深度為，取豎直向下為軸正向，樁下降時(shí)受到的阻力為

④

對(duì)于樁、錘系統(tǒng)損失的能量用于克服阻力做功，有

⑤

將式④代入式⑤化簡(jiǎn)得

⑥

代入數(shù)值得

解得

（2）碰撞前，錘的動(dòng)能為 ⑦

碰撞后，樁、錘系統(tǒng)用于克服阻力做功的動(dòng)能為

． ⑧

故打樁效率為％．

（3）設(shè)錘與樁碰撞結(jié)束時(shí)，錘、樁的速度分別為和，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有

⑨

根據(jù)恢復(fù)因數(shù)的定義，有

． ⑩

聯(lián)立式⑨與式⑩解得，，

即得，．

顯然，碰撞后錘被反彈．與式⑤類似，有

．

聯(lián)立式④、式和式并代入數(shù)值得，解得

可知，這一錘打進(jìn)的深度為

此時(shí)，打樁的效率為％

可見(jiàn)，有了彈性后，打樁的效率提高了，這是由于因變形和裂損的能量損失更小，使效率提高．