Question

12．人類第一次登上月球時，宇航員在月球表面做了一個實驗：將一片羽毛和一個鐵錘從同一個高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時落地．若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時間t落到月球表面．已知引力常量為G，月球的半徑為R．
（1）求月球表面的自由落體加速度大小g_月；
（2）若不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，求月球的質(zhì)量M和月球的“第一宇宙速度”大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體的位移時間規(guī)律可以直接求出月球表面的重力加速度；　
（2）根據(jù)月球表面重力和萬有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半徑可以求出月球的質(zhì)量M；　
飛行器近月飛行時，飛行器所受月球萬有引力提供月球的向心力，從而求出“第一宇宙速度”大小．

解答 解：（1）月球表面附近的物體做自由落體運(yùn)動 $h=\frac{1}{2}{g_月}{t^2}$
月球表面的自由落體加速度大小 ${g_月}=\frac{2h}{t^2}$
（2）a．若不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響 $G\frac{Mm}{R^2}=m{g_月}$
月球的質(zhì)量 $M=\frac{{2h{R^2}}}{{G{t^2}}}$
b．質(zhì)量為m'的飛行器在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動$m'{g_月}=m'\frac{v^2}{R}$
月球的“第一宇宙速度”大小 $v=\sqrt{{g_月}R}=\frac{{\sqrt{2hR}}}{t}$
答：（1）求月球表面的自由落體加速度大小為$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）月球的質(zhì)量為$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$；月球的“第一宇宙速度”大小為$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$．

點評 結(jié)合自由落體運(yùn)動規(guī)律求月球表面的重力加速度，根據(jù)萬有引力與重力相等和萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力求解中心天體質(zhì)量和近月飛行的速度v．