Question

13．宇航員在月球上，從高h(yuǎn)處以初速度v0水平拋出一小球，水平射程為L(zhǎng)（這時(shí)月球表面可以看作是平坦的），已知月球半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G．求：
（1）月球表面處的重力加速度及月球的質(zhì)量M．
（2）月球的第一宇宙速度是多大？

Answer 1

分析 根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，求出月球表面的重力加速度，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出月球的質(zhì)量．
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出月球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）小球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=$\frac{L}{{v}_{0}}$，
根據(jù)h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，月球表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}^{2}}=\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{L}^{2}}$．
根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，月球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2h{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}$．
（2）根據(jù)mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$得，月球的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2h{{v}_{0}}^{2}R}{{L}^{2}}}=\frac{{v}_{0}}{L}\sqrt{2hR}$．
答：（1）月球表面處的重力加速度為$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{L}^{2}}$，月球的質(zhì)量為$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}$．
（2）月球的第一宇宙速度為$\frac{{v}_{0}}{L}\sqrt{2hR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力理論與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，通過平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出重力加速度是關(guān)鍵．掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．