Question

17．如圖所示，導(dǎo)熱性能良好的氣缸內(nèi)用活塞封閉一定質(zhì)量的理想氣體，活塞用輕彈簧與缸底相連，當(dāng)氣缸如圖甲水平放置時(shí)，彈簧伸長了x₀，活塞到缸底的距離為L₀，將氣缸緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)豎直放置，開口向上，如圖乙所示，這時(shí)活塞剛好向缸底移動(dòng)了x₀的距離．已知活塞的橫截面積為S，活塞與氣缸壁的摩擦不計(jì)，且氣密性良好，活塞的質(zhì)量為m，重力加速度為g，大氣壓強(qiáng)為P₀，求：

（i）彈簧的勁度系數(shù)的大小；
（ii）若從甲圖到乙圖的過程中，氣體放出的熱量為Q，活塞的重力對(duì)氣體做的功為W，則彈簧開始具有的彈性勢能為多少？

Answer 1

分析 （i）根據(jù)受力平衡求出氣缸水平放置和豎直放置時(shí)的壓強(qiáng)，根據(jù)玻意耳定律列式求出彈簧的勁度系數(shù)；
（ii）外界對(duì)氣體做功包括重力做功、彈力做功和外界大氣壓力做功的和，根據(jù)熱力學(xué)第一定律列式即可求解彈力做的功，即彈簧開始具有的彈性勢能；

解答 解：（i）氣缸水平放置時(shí)，缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)為${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{k{x}_{0}^{\;}}{S}$
當(dāng)氣缸豎直放置時(shí)，缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)為：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}$
根據(jù)玻意耳定律有：${p}_{1}^{\;}{L}_{0}^{\;}S={p}_{2}^{\;}（{L}_{0}^{\;}-{x}_{0}^{\;}）S$
求得：$k=\frac{mg（{L}_{0}^{\;}-{x}_{0}^{\;}）-{p}_{0}^{\;}{x}_{0}^{\;}S}{{x}_{0}^{\;}{L}_{0}^{\;}}$
（ii）從甲圖到乙圖的過程中，氣體的溫度始終不變，因此氣體的內(nèi)能不變，根據(jù)熱力學(xué)第一定律可知：$Q=W+{p}_{0}^{\;}{x}_{0}^{\;}S+{E}_{p}^{\;}$，
求得：${E}_{p}^{\;}=Q-W-{p}_{0}^{\;}{x}_{0}^{\;}S$．
答：（i）彈簧的勁度系數(shù)的大小為$\frac{mg（{L}_{0}^{\;}-{x}_{0}^{\;}）-{p}_{0}^{\;}{x}_{0}^{\;}S}{{x}_{0}^{\;}{L}_{0}^{\;}}$；
（ii）若從甲圖到乙圖的過程中，氣體放出的熱量為Q，活塞的重力對(duì)氣體做的功為W，則彈簧開始具有的彈性勢能為$Q-W-{p}_{0}^{\;}{x}_{0}^{\;}S$

點(diǎn)評(píng) 本題考查氣體實(shí)驗(yàn)定律和熱力學(xué)第一定律等知識(shí)要點(diǎn)，分析氣體的狀態(tài)參量，判斷何種變化是關(guān)鍵，同時(shí)要能根據(jù)平衡條件求解封閉氣體的壓強(qiáng)，應(yīng)用熱力學(xué)第一定律關(guān)鍵是注意負(fù)號(hào)法則．