Question

19．如圖所示，在空間存在著三個(gè)相鄰的電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域，邊界分別為PP′、QQ′、MM′、NN′且彼此相互平行．取PP′上某點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，沿PP′方向向右為x軸，垂直PP′向下為y軸建立坐標(biāo)系xOy．三個(gè)場(chǎng)區(qū)沿x方向足夠長，邊界PP′與QQ′之間為+y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)I，邊界MM′與NN′之間為-y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)Ⅲ，兩處電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小都為E，y方向?qū)挾榷紴閐．邊界QQ′與MM′之間為垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，y方向?qū)挾葹?d．帶電量為+q、質(zhì)量為m、重力不計(jì)的帶電粒子，從O點(diǎn)以沿+x方向的初速度進(jìn)入電場(chǎng)I．當(dāng)粒子的初速度大小為v₀時(shí)，粒子經(jīng)場(chǎng)區(qū)Ⅰ、Ⅱ偏轉(zhuǎn)到達(dá)邊界MM′時(shí)，速度沿+x方向．

（1）求粒子從O點(diǎn)出發(fā)后到第一次進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域II所需時(shí)間t；
（2）求v₀的大小；
（3）當(dāng)粒子的初速度大小為v₁（0≤v₁＜v₀）時(shí)，求粒子在第一次飛出磁場(chǎng)之后的運(yùn)動(dòng)過程中，縱坐標(biāo)y的最小值y_min和最大值y_max．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)Ⅰ區(qū)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由位移公式就能求出在場(chǎng)區(qū)Ⅰ的時(shí)間．
（2）帶電粒子先做類平拋運(yùn)動(dòng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)達(dá)到MM′時(shí)速度變?yōu)樗�平，由幾何關(guān)系可以找到做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與寬度d、在電場(chǎng)在的偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系，結(jié)合洛侖茲力提供向心力就能求出平拋的初速度．
（3）可以想象，當(dāng)初速度越小，進(jìn)入磁場(chǎng)里速度方向與水平方向的夾角越大，則穿出磁場(chǎng)進(jìn)入Ⅲ區(qū)電場(chǎng)越遠(yuǎn)，所以把離MN的距離表示出來，從而可以求出粒子在第一次飛出磁場(chǎng)之后的運(yùn)動(dòng)過程中，縱坐標(biāo)y的最小值y_min和最大值y_max．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)區(qū)域I中做類平拋運(yùn)動(dòng)，y分運(yùn)動(dòng)為勻加速直線運(yùn)動(dòng)．qE=ma   $d=\frac{1}{2}a{t^2}$    所以：$t=\sqrt{\frac{2md}{qE}}$
（2）如圖甲所示，帶電粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，電場(chǎng)力做功，滿足動(dòng)能定理：$qEd=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v_0}^2$
  帶電粒子飛出電場(chǎng)時(shí)速度與x方向夾角設(shè)為α，則$cosα=\frac{v_0}{v}$
  在磁場(chǎng)中，粒子由洛倫茲力提供向心力做圓周運(yùn)動(dòng)，得$qvB=m\frac{v^2}{r}，得r=\frac{mv}{qB}$
  粒子軌跡剛好和MM'相切，由幾何關(guān)系得r=rcosα+2d
  綜合上述四式可得：${v_0}=\frac{E}{2B}-\frac{qBd}{m}$

（3）粒子在磁場(chǎng)中縱坐標(biāo)最大的位置與QQ'的距離為：
$△y=r（1-cosα）=\frac{m}{qB}（v-{v_1}）=\frac{m}{qB}（\sqrt{v_1^2+v_y^2}-{v_1}）$
  可見，v₁越小，△y越大，軌跡的縱坐標(biāo)的最大值反而越大．
  所以，當(dāng)粒子的初速度大小為v₁（0≤v₁＜v₀）時(shí)，粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域III．
  如圖乙所示，設(shè)粒子進(jìn)入電場(chǎng)III時(shí)速度與邊界MM'夾角為β．
  由幾何關(guān)系可知：rcosβ-rcosα=2d，$cosα=\frac{v_1}{v}$，$cosβ=\frac{{{{v'}_x}}}{v}$，
解得：${v'_x}={v_1}+\frac{2dqB}{m}$
  由粒子在區(qū)域I的運(yùn)動(dòng)可知：${v_y}=\sqrt{2ad}=\sqrt{2\frac{qE}{m}d}$
  帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)III后，y方向分運(yùn)動(dòng)有：$v'_y^2=\frac{2qEd}{m}-\frac{{4qB{v_1}d}}{m}-\frac{{4{d^2}{q^2}{B^2}}}{m^2}$
  粒子在電場(chǎng)III中縱坐標(biāo)最大的位置與MM'的距離  $△y=d-\frac{{2q{B^2}{d^2}}}{mE}-\frac{{2Bd{v_1}}}{E}$
  所以，${y_{max}}=3d+△y=4d-\frac{{2q{B^2}{d^2}}}{mE}-\frac{{2Bd{v_1}}}{E}$．根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，帶電粒子還將進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ及電場(chǎng)Ⅰ，并到達(dá)邊界PP'，
  所以，y_min=0．
答：（1）粒子從O點(diǎn)出發(fā)后到第一次進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域II所需時(shí)間為$\sqrt{\frac{2md}{qE}}$．
（2）v₀的大小$\frac{E}{2B}-\frac{qBd}{m}$．
（3）當(dāng)粒子的初速度大小為v₁（0≤v₁＜v₀）時(shí)，粒子在第一次飛出磁場(chǎng)之后的運(yùn)動(dòng)過程中，縱坐標(biāo)y的最小值是0，
   最大值$4d-\frac{2q{B}^{2}r7fjb1h^{2}}{mE}-\frac{2Bd{v}_{1}}{E}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)在于第二問：經(jīng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)兩次偏轉(zhuǎn)后速度方向變?yōu)樗�平，先由幾何關(guān)系、動(dòng)能定理、牛頓第二定律等知識(shí)，解方程可以求出初速度；本題的難點(diǎn)在于第三問：先定性分析什么情況下進(jìn)入Ⅲ區(qū)的深度越大，然后表示出關(guān)系式，從關(guān)系式就能求出粒子在第一次飛出磁場(chǎng)之后的運(yùn)動(dòng)過程中，縱坐標(biāo)y的最小值y_min和最大值y_max