Question

1．如圖所示，在xOy平面內(nèi)第一象限存在水平向右的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)為E=2v/m，第二象限和第三象限存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T．有一帶負(fù)電的粒子，比荷為4C/kg，從x軸上x=3m的P點(diǎn)以初速度v₀=4m/s垂直于x軸進(jìn)入電場，不計帶電粒子的重力．求：
（1）帶電粒子第一次通過y軸時距O點(diǎn)的距離；
（2）帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場后經(jīng)多長時間第一次返回到電場；
（3）試通過計算說明粒子能否通過y軸正半軸上的Q點(diǎn)？已知Q點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為28$\sqrt{3}$m．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，應(yīng)用類平拋運(yùn)動規(guī)律可以求出粒子第一次通過y軸時距離O點(diǎn)的距離．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，通過對幾何關(guān)系的運(yùn)算判斷粒子是否能進(jìn)入第四象限做勻速直線運(yùn)動，若粒子沒有進(jìn)入第四象限直接回到電場，若進(jìn)入第四象限，做一段勻速直線運(yùn)動后再回到電場，最后求出總的運(yùn)動時間．
（3）粒子在電場中運(yùn)動，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)粒子運(yùn)動過程求出粒子通過y軸正半軸上的距離，然后分析答題．

解答 解：（1）粒子在第一象限做類平拋運(yùn)動，根據(jù)類平拋規(guī)律可得：
x方向做勻加速：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
y方向做勻速直線運(yùn)動：y=v₀t
根據(jù)牛頓第二定律：Eq=ma，可得粒子的加速度：a=$\frac{qE}{m}$=4×2=8m/s²，
聯(lián)立以上各式可得粒子第一次通過y軸時距O點(diǎn)的距離：
y=${v}_{0}\sqrt{\frac{2x}{a}}$=$4×\sqrt{\frac{2×3}{8}}$m=2$\sqrt{3}$m
（2）畫出粒子軌跡過程圖如圖所示，

根據(jù)類平拋規(guī)律有：
y方向分速度：v_y=v₀=4m/s
x方向分速度：v_x=at=a$\sqrt{\frac{2x}{a}}$=4$\sqrt{3}$m/s
粒子進(jìn)入磁場時的速度：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=8m/s
v_x與v₀方向夾角：tanθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}$=$\sqrt{3}$
即：θ=60°
粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：R=$\frac{mv}{qB}$=2m
粒子在磁場運(yùn)動的周期：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{π}{2}$s
根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子在磁場中轉(zhuǎn)過240°的圓心角后離開磁場，
從粒子進(jìn)入磁場到離開磁場的過程，沿y軸方向的位移：△x=$\sqrt{3}$R=2$\sqrt{3}$m=y=v₀t
所以粒子沒有進(jìn)入第四象限，粒子恰好從坐標(biāo)原點(diǎn)O第一次返回到電場，
經(jīng)歷的時間：t=$\frac{240°}{360°}$T=$\frac{π}{3}$s≈1.05s
（3）畫出周期性運(yùn)動的粒子軌跡過程圖，如圖所示，

粒子在電場和磁場中做周期性運(yùn)動，每個周期粒子向上平移的距離為：△x=y=2$\sqrt{3}$m
粒子經(jīng)過y軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)y′滿足：y′=n•2△x（其中n=0，1，2，3…）
若粒子經(jīng)過y軸正半軸上的Q點(diǎn)，需滿足：y′=n•2△x=28$\sqrt{3}$m
解得：n=7，因?yàn)閚為整數(shù)，故粒子可以通過y軸正半軸上的Q點(diǎn)．
答：（1）帶電粒子第一次通過y軸時距O點(diǎn)的距離為2$\sqrt{3}$m；
（2）帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場后大約經(jīng)1.05s后第一次返回到電場；
（3）粒子能通過y軸正半軸上的Q點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了電子在電場與磁場中的運(yùn)動問題，是電磁學(xué)與力學(xué)的一道綜合題，分析清楚電子的運(yùn)動過程，應(yīng)用類平拋運(yùn)動規(guī)律、運(yùn)動的合成與分解、牛頓第二定律、運(yùn)動學(xué)公式即可正確解題．第（2）問要注意判斷粒子出磁場的位置，要判斷出粒子是否進(jìn)入第四象限，第（3）問的關(guān)鍵是要根據(jù)幾何關(guān)系，正確畫出周期性運(yùn)動的粒子軌跡過程圖，找出經(jīng)過Q點(diǎn)的條件，即：n為整數(shù)，粒子就能經(jīng)過Q點(diǎn)．