Question

20．如圖所示，有一個可視為質(zhì)點的質(zhì)量為m=1kg的小物塊，從光滑平臺上的A點以v₀=1.8m/s的初速度水平拋出，到達(dá)C點時，恰好沿C點的切線方向進(jìn)人固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道，最后小物塊無碰撞地滑上緊靠軌道末端D點的足夠長的水平傳送帶．已知傳送帶上表面與圓弧軌道末端切線相平，傳送帶沿順時針方向勻速運(yùn)行的速度為v=3m/s，小物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，圓弧軌道的半徑為R=2m，C點和圓弧的圓心O點連線與豎直方向的夾角θ=53°，不計空氣阻力，重力加速度g=10m/s²，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6．試求：
（1）小物塊到光滑圓弧C點時的速度大小v_C；
（2）小物塊到達(dá)圓弧軌道末端D點時支持力大��；
（3）小物塊從滑上傳送帶到第一次離開傳送帶的過程中產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）小物塊從A到C的過程做平拋運(yùn)動，根據(jù)物塊到達(dá)C點的速度方向，由速度的分解法求物塊到達(dá)C點速度．
（2）由C到D的過程，利用動能定理求解D點的速度，在D點，利用牛頓第二定律列式求解軌道對物塊的支持力．
（3）物塊在傳送帶上滑動時，做勻減速運(yùn)動，當(dāng)速度減到零后，反向勻加速直線運(yùn)動，速度相同后一起做勻速運(yùn)動，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求出共同運(yùn)動的速度，根據(jù)能量守恒求出物塊在木板上相對滑動過程中產(chǎn)生的熱量Q．

解答 解：（1）設(shè)小物體在C點時得速度大小為v_C，由平拋運(yùn)動的規(guī)律可知，C點的速度方向與水平方向成θ=53°，由幾何關(guān)系可得：
   v_C=$\frac{{v}_{0}}{cos53°}$=$\frac{1.8}{0.6}$m/s=3m/s…①
（2）由C點到D點，由動能定理得：
  mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_C²…②
物塊在D點時，由牛頓第二定律得：
   F_N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$…③
由牛頓第三定律，小物塊到達(dá)圓弧軌道末端D點時對軌道的壓力為：F_N′=F_N…④
①②③④聯(lián)立得：F_N′=22.5N，方向豎直向下．
（3）設(shè)小物塊在傳送帶上滑動得加速度大小為a，由牛頓第二定律得：
  a=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.5×10m/s²=5m/s²…⑤
小物塊勻減速直線運(yùn)動的時間為t₁，向左通過得位移為x₁，傳送帶向右運(yùn)動得距離為x₂，則：
  v_D=at₁…⑥
  x₁=$\frac{1}{2}$at₁²…⑦
  x₂=vt₁…⑧
小物塊向右勻加速直線運(yùn)動達(dá)到和傳送帶速度相同時間為t₂，向左通過得位移為x₃，傳送帶向右運(yùn)動得距離為x₄，則：
  v=at₂…⑨
  x₃=$\frac{1}{2}$at₂²…⑩
  x₄=vt₂…⑪
整個過程小物塊相對傳送帶滑動得距離為：
  x=x₁+x₂+x₄-x₃…⑫
生成得熱量為：Q=μmgx…⑬
聯(lián)立⑤至⑬聯(lián)立解得：Q=32J
答：
（1）小物塊到光滑圓弧C點時的速度大小v_C是3m/s．
（2）小物塊到達(dá)圓弧軌道末端D點時支持力大小為22.5N．
（2）小物塊從滑上傳送帶到第一次離開傳送帶的過程中產(chǎn)生的熱量為32J．

點評 解決本題的關(guān)鍵要分析清楚物塊的運(yùn)動情況，把握隱含的條件，如“物塊恰好沿C點的切線方向進(jìn)人固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道”，意味著C點的速度方向與
水平方向成θ角，這是解這道題的關(guān)鍵，理解了這句話就可以求得小球在C點速度，本題很好的把平拋運(yùn)動和圓周運(yùn)動結(jié)合在一起運(yùn)用機(jī)械能守恒或動能定理解決．