Question

12．某航天飛機在地球赤道上空飛行，軌道半徑為r，飛行方向與地球的自轉方向相同，設地球的自轉角速度為ω₀，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g．求：
（1）航天飛機的角速度．
（2）在某時刻航天飛機通過赤道上某建筑物的上方（飛機高度低于同步衛(wèi)星高度），求它下次通過該建筑物上方所需的時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)地球表面重力等于萬有引力列式；衛(wèi)星受到的萬有引力提供向心力，再次列式；聯(lián)立求解即可；
（2）衛(wèi)星下次通過該建筑物上方時比地球多轉動一圈．

解答 解：（1）地球表面的物體重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得$GM=g{R}_{\;}^{2}$
根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}r$
解得：$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{\;}^{3}}}$
聯(lián)立得$ω=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}$
（2）根據(jù)題意飛機高度低于同步衛(wèi)星高度，所以$ω＞{ω}_{0}^{\;}$，
$ωt-{ω}_{0}^{\;}t=2π$
解得：$t=\frac{2π}{ω-{ω}_{0}^{\;}}=\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}-{ω}_{0}^{\;}}$
答：（1）航天飛機的角速度$\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}$．
（2）在某時刻航天飛機通過赤道上某建筑物的上方（飛機高度低于同步衛(wèi)星高度），它下次通過該建筑物上方所需的時間$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}-{ω}_{0}^{\;}}$

點評 本題關鍵抓住萬有引力提供向心力和地球表面重力等于萬有引力列方程求解，同時明確勻速圓周運動中多轉動一圈是多轉動2π弧度．