Question

14．過山車是游樂場中常見的設施．如圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)半徑R=2.0m的圓形軌道組成，B、C分別是圓形軌道的最低點和最高點．一個質(zhì)量為m=1.0kg的小滑塊（可視為質(zhì)點），從軌道的左側(cè)A點沿軌道向右運動，A、B間距L=11.5m．小滑塊與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.10．圓形軌道是光滑的，水平軌道足夠長．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）要使滑塊恰好通過C點，滑塊從軌道的左側(cè)A點至少以多大的初速度沿軌道向右運動
（2）若滑塊從軌道的左側(cè)A以V₀=12m/s的初速度沿軌道向右運動；則
①滑塊經(jīng)過C點時受到軌道的作用力大小F；
②滑塊最終停留點D（圖中未畫出）與起點A的距離d．

Answer 1

分析 （1）抓住滑塊恰好通過最高點C，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點的速度，對A到C運用動能定理，求出初速度的大�。�
（2）根據(jù)動能定理求出C點的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出彈力的大小．
（3）對全過程運用動能定理，求出滑塊最終停留點D（圖中未畫出）與起點A的距離d．

解答 解：（1）滑塊恰好通過C點，有：mg=$m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{C}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×2}m/s=2\sqrt{5}$m/s、
從A到C，根據(jù)動能定理得，$-mg•2R-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得${v}_{0}=\sqrt{123}$m/s．
（2）①從A到C，根據(jù)動能定理有：$-mg•2R-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
在C點：$mg+F=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：F=10.5N
根據(jù)牛頓第三定律知，滑塊經(jīng)過C點時受到軌道的作用力大小為10.5N．
②從A到D運用動能定理得，$-μmgs=0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$$-μmgd=0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得s=72m．  
 滑塊最終停留點D（圖中未畫出）與起點A的距離d=72-2×11.5m=49m
答：（1）要使滑塊恰好通過C點，滑塊從軌道的左側(cè)A點至少以$\sqrt{123}$m/s的初速度沿軌道向右運動．
（2）滑塊經(jīng)過C點時受到軌道的作用力大小為10.5N；滑塊最終停留點D（圖中未畫出）與起點A的距離d為49m．

點評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律與圓周運動的綜合，知道最高點向心力的來源，合理選擇研究過程，運用動能定理進行求解．