Question

5．如圖所示，傾角θ=30°、長L=2.7m的斜面，底端與一個(gè)光滑的$\frac{1}{4}$圓弧平滑連接，圓弧底端切線水平．一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的質(zhì)點(diǎn)從斜面最高點(diǎn)A沿斜面由靜止下滑，經(jīng)過斜面底端B恰好到達(dá)圓弧最高點(diǎn)C，又從圓弧滑回，能上升到斜面上的D點(diǎn)，再由D點(diǎn)由斜面下滑沿圓弧上升，再滑回，這樣往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最后停在B點(diǎn)．已知質(zhì)點(diǎn)與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，g=10m/s²．假設(shè)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過斜面與圓弧平滑連接處速率不變．求：
（1）質(zhì)點(diǎn)第1次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對圓弧軌道的壓力；
（2）質(zhì)點(diǎn)從A到D的過程中質(zhì)點(diǎn)下降的高度；
（3）質(zhì)點(diǎn)從開始到最后停止運(yùn)動(dòng)的過程中在斜面上滑過的路程；
（4）質(zhì)點(diǎn)從開始到第6次經(jīng)過B點(diǎn)的過程中因與斜面摩擦而產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出質(zhì)點(diǎn)第1次到達(dá)B點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律和第三定律求出質(zhì)點(diǎn)對圓弧軌道的壓力．
（2）對AB段和BD段分別運(yùn)用動(dòng)能定理，求出BD的長度，從而得出質(zhì)點(diǎn)從A到D的過程中質(zhì)點(diǎn)下降的高度．
（3）整個(gè)過程中，摩擦力做功即為機(jī)械能的減少量，當(dāng)最終停在B點(diǎn)時(shí)求出機(jī)械能的減少量，根據(jù)摩擦力做功求出運(yùn)動(dòng)路程
（4）分別對上滑過程和下滑過程運(yùn)用動(dòng)能定理，得出上滑的位移與下滑的位移的關(guān)系，從而找出規(guī)律，得出質(zhì)點(diǎn)在斜面上運(yùn)動(dòng)的路程，通過Q=fs求出產(chǎn)生的熱量

解答 解：（1）設(shè)圓弧的半徑為R，則質(zhì)點(diǎn)從C到B過程，有：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：F_N=3mg=3×1×10N=30N  
根據(jù)牛頓第三定律，質(zhì)點(diǎn)第1次經(jīng)過B點(diǎn)對圓弧軌道的壓力為30N．
（2）設(shè)AD高度為h，選A經(jīng)B到C再返回D的過程，根據(jù)動(dòng)能定理知     
mgh-μmgcos30°（2L-$\frac{h}{sin30°}$）=0
解得：h=0.9m
則質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)到D點(diǎn)下降的高度為：h=0.9m
AD的距離為：L₁=L-2h=0.9m
（3）當(dāng)最終停在B點(diǎn)時(shí)，機(jī)械能減少量為：△E_p=mgLsin30°=1×10×2.7×0.5=13.5J
滑塊在斜面上所受摩擦力：f=μmgcos30°
設(shè)滑塊在斜面上通過的總路程為S，則：△E_p=fS
聯(lián)立三式并代入數(shù)據(jù)得：S=5.4m
（4）質(zhì)點(diǎn)第2次由B點(diǎn)沿斜面上滑的距離為L₂．則有：mg（L-L₂）sin30°-μmgcos37°•（L+L₁+L₂）=0
解得：L₂=（$\frac{1}{3}$）²L
同理知：質(zhì)點(diǎn)第n次由B點(diǎn)沿斜面上滑的距離L_n為：L_n=（$\frac{1}{3}$）²L
所以質(zhì)點(diǎn)從開始到第6次經(jīng)過B點(diǎn)的過程中，在斜面上通過的路程為：
S=L+2（L₁+L₂）=5.1m  
Q=μmgcos30°S=12.75J   
答：
（1）質(zhì)點(diǎn)第1次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對圓弧軌道的壓力為30N．
（2）質(zhì)點(diǎn)從A到D的過程中質(zhì)點(diǎn)下降的高度為0.9m．
（3）在斜面上通過的總路程為5.4m．
（4）質(zhì)點(diǎn)從開始到第6次經(jīng)過B點(diǎn)的過程中因與斜面摩擦而產(chǎn)生的熱量為12.75J．

點(diǎn)評 本題考查了考查了動(dòng)能定理和牛頓第二定律，綜合性較強(qiáng)，難度中等，關(guān)鍵是理清運(yùn)動(dòng)過程，選擇合適的過程運(yùn)用動(dòng)能定理進(jìn)行求解．