Question

13．如圖所示，MN為兩豎直放置的金屬板，其間的電壓U_NM=180V，兩水平放置的金屬板FH間所加電壓U_FH=7.2sin2πt伏（從第一個(gè)電子剛進(jìn)入FH板開始計(jì)時(shí)），已知MN兩板各有一個(gè)小孔，兩小孔連線水平且與MN兩板垂直并剛好通過FH兩板的中心線，以此線作為x軸，F(xiàn)H的中心線末端為坐標(biāo)原點(diǎn)O，豎直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知坐標(biāo)系的第一、四象限存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5×10^-4T，現(xiàn)有電子可以源源不斷的從M板的小孔進(jìn)入電場，已知進(jìn)入M孔的電子的初速度可以忽略（不計(jì)電子之間的相互作用力），且相同時(shí)間內(nèi)進(jìn)入的電子數(shù)目相同．已知電子電量e=1.6×10^-19C，電子質(zhì)量為m=9×10^-31kg，F(xiàn)H板板長L=0.4m，板間間距d=0.04m，電子重力不計(jì)．

（1）求電子從N板小孔射出時(shí)速度的大小及t=0時(shí)刻進(jìn)入FH板的電子在磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
（2）求從t=0時(shí)刻至T=1s時(shí)刻從FH板射入的電子中，能從FH板射出的電子數(shù)與進(jìn)入FH板的電子數(shù)之比．
（3）求電子從磁場射出的位置坐標(biāo)y的范圍．
（4）已知所有從磁場射出的電子好像都是從磁場中某一點(diǎn)沿直線射出來的一樣，試求該點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）加速電場對電子做的功等于電子動(dòng)能的變化，由洛倫茲力提供向心力得出半徑；
（2）在偏轉(zhuǎn)電場中電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解求出電子能穿過電場的最大電壓，然后由電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式即可求出；
（3）作出圓周運(yùn)動(dòng)出磁場的臨界軌跡，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)求出電子射出磁場時(shí)的速度大小以及偏轉(zhuǎn)的方向，根據(jù)根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解電子運(yùn)動(dòng)的半徑，在結(jié)合幾何關(guān)系即可求出；
（4）畫出電子沿x軸進(jìn)入磁場時(shí)在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡和電子從電場的邊緣進(jìn)入磁場時(shí)運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系即可求得．

解答 解：（1）電子在加速電場中由動(dòng)能定理得：
eU_MN=$\frac{1}{2}mv_0^2$   ①
解得v₀=8.0×10⁶m/s
由于電子的速度大，穿過偏轉(zhuǎn)電場的過程中偏轉(zhuǎn)電壓幾乎不變，t=0時(shí)刻的偏轉(zhuǎn)電壓是0，所以電子做勻速直線運(yùn)動(dòng)．進(jìn)入磁場的速度仍然不變，則：
$e{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
所以：$r=\frac{mv}{eB}=\frac{9×1{0}^{-31}×8.0×1{0}^{6}}{1.6×1{0}^{-19}×5×1{0}^{-4}}=0.3$m
（2）電子在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)電子恰好從電場的邊緣射出電場時(shí)，偏轉(zhuǎn)電壓為U₂，有：a=$\frac{e{U}_{2}}{md}$
$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}a•\frac{{L}^{2}}{{v}_{0}^{2}}$=$\fracvmfexjp{2}$
聯(lián)立以上公式，并代入數(shù)據(jù)得：U₂=3.6V
結(jié)合U_FH=7.2sin2πt，可知，在第一秒內(nèi)，當(dāng)t=$\frac{1}{12}$s或$t=\frac{5}{12}$s時(shí)，電子從上極板的邊緣射出；當(dāng)t=$\frac{7}{12}$s或$t=\frac{11}{12}$s時(shí)，電子從下極板的邊緣射出，
所以在0-$\frac{1}{12}$s、$\frac{5}{12}$s-$\frac{7}{12}$s、$\frac{11}{12}$s-1s的時(shí)間內(nèi)入射的電子內(nèi)射出電場，由于相同時(shí)間內(nèi)進(jìn)入的電子數(shù)目相同，則能從FH板射出的電子數(shù)與進(jìn)入FH板的電子數(shù)之比等于相應(yīng)的時(shí)間的比值，即：$\frac{{n}_{FN}}{N}=\frac{\frac{1}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}}{1}=\frac{1}{3}$
（3）電子在偏轉(zhuǎn)電場中偏轉(zhuǎn)的過程中，電場力做正功，電子的動(dòng)能增加，由動(dòng)能定理得：$e•\frac{{U}_{2}}{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：${v}_{1}=8.04×1{0}^{6}$m/s
在磁場中的半徑：${r}_{1}=\frac{m{v}_{1}}{eB}$
代入數(shù)據(jù)得：r₁≈0.3015m
沿電場方向的分速度：${v}_{y}=at=\frac{e{U}_{2}}{md}•\frac{L}{{v}_{0}}$
飛出電場時(shí)，速度偏轉(zhuǎn)角的正切為：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{{U}_{2}L}{2{U}_{MN}d}=\frac{1}{10}$
電子射出磁場時(shí)的位移：△y=2r₁cosθ=2×0.3015×0.995=0.600m
由左手定則可知，電子在磁場中向上偏轉(zhuǎn)，所以射出磁場的最大位置：${y}_{max}=△y+\fracoj873c2{2}=0.600+\frac{0.04}{2}=0.602$m
以射出磁場的最小位置：${y}_{min}=△y-\frachyh8rs3{2}=0.600-\frac{0.04}{2}=0.598$m
電子從磁場射出的位置坐標(biāo)y的范圍是：0.598m≤y≤0.602m
（4）沿x軸進(jìn)入磁場時(shí)電子經(jīng)過半個(gè)周期后射出磁場，偏轉(zhuǎn)180°，而從電場的邊緣進(jìn)入磁場的電子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，則縱坐標(biāo)y=2r=2×0.3m=0.6m：

由幾何關(guān)系可知，兩個(gè)圓與y軸的交點(diǎn)的切線之間的夾角等于從電場的邊緣進(jìn)入磁場時(shí)與x軸之間的夾角，為θ，所以兩條切線的交點(diǎn)距離y軸的距離為：
$x=\frac{2r-{y}_{min}}{tanθ}=10×（2×0.3-0.598）=0.2$m
所以若所有從磁場射出的電子好像都是從磁場中某一點(diǎn)沿直線射出來的一樣，該點(diǎn)的坐標(biāo)為（0.2m，0.6m）
答：（1）電子從N板小孔射出時(shí)速度的大小是8.0×10⁶m/s，t=0時(shí)刻進(jìn)入FH板的電子在磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是0.3m．
（2）從t=0時(shí)刻至T=1s時(shí)刻從FH板射入的電子中，能從FH板射出的電子數(shù)與進(jìn)入FH板的電子數(shù)之比是$\frac{1}{3}$．
（3）電子從磁場射出的位置坐標(biāo)y的范圍是0.598m≤y≤0.602m．
（4）已知所有從磁場射出的電子好像都是從磁場中某一點(diǎn)沿直線射出來的一樣，該點(diǎn)的坐標(biāo)為（0.2m，0.6m）．

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動(dòng)的問題，涉及電子的加速、偏轉(zhuǎn)以及在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)，解答的關(guān)鍵是分析粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)情況，能夠結(jié)合電子的最大速度畫出粒子的臨界邊界，并結(jié)合幾何關(guān)系求出結(jié)果．