Question

如圖5所示，半徑為、質(zhì)量為m的小球用兩根不可伸長的輕繩a、b連接，兩輕繩的另一端系在一根豎直桿的A、B兩點(diǎn)上，A、B兩點(diǎn)相距為l，當(dāng)兩輕繩伸直后，A、B兩點(diǎn)到球心的距離均為l.當(dāng)豎直桿以自己為軸轉(zhuǎn)動(dòng)并達(dá)到穩(wěn)定時(shí)(細(xì)繩a、b與桿在同一豎直平面內(nèi))．求：

圖5

(1)豎直桿角速度ω為多大時(shí)，小球恰離開豎直桿．

(2)輕繩a的張力Fa與豎直桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω之間的關(guān)系．

Answer 1

解析　(1)小球恰離開豎直桿時(shí)，小球與豎直桿間的作用力為零，此時(shí)輕繩a與豎直桿間的夾角為α，由題意可知sin α＝，r＝

沿半徑：Fasin α＝mω2r

垂直半徑：Facos α＝mg

聯(lián)立解得ω＝2

(2)由(1)可知0≤ω2≤ 時(shí)，F(xiàn)a＝mg

若角速度ω再增大，小球?qū)㈦x開豎直桿，在輕繩b恰伸直前，設(shè)輕繩a與豎直桿的夾角為β，此時(shí)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r＝lsin β

沿半徑：Fasin β＝mω2r

垂直半徑：Facos β＝mg

聯(lián)立解得Fa＝mω2l

當(dāng)輕繩b恰伸直時(shí)，β＝60°，此時(shí)ω＝

故有Fa＝mω2l，此時(shí) ≤ω2≤

若角速度ω再增大，輕繩b拉直后，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r＝lsin 60°

沿半徑：Fasin 60°＋Fbsin 60°＝mω2r

垂直半徑：Facos 60°＝Fbcos 60°＋mg

聯(lián)立解得Fa＝mlω2＋mg，此時(shí)ω2≥

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