Question

11．如圖所示，一個(gè)邊緣帶有凹槽的金屬圓環(huán)，沿其直徑裝有一根長(zhǎng)2L的金屬桿AC，可繞通過(guò)圓環(huán)中心的水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)．將一根質(zhì)量不計(jì)的長(zhǎng)繩一端固定于槽內(nèi)并將繩繞于圓環(huán)槽內(nèi)，繩子的另一端吊了一個(gè)質(zhì)量為m的物體．圓環(huán)的一半處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直環(huán)面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．現(xiàn)將物體由靜止釋放，若金屬圓環(huán)和金屬桿單位長(zhǎng)度的電阻均為R．忽略所有摩擦和空氣阻力．
（1）設(shè)某一時(shí)刻圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₀，且OA邊在磁場(chǎng)中，請(qǐng)求出此時(shí)電路中的電動(dòng)勢(shì)和通過(guò)金屬桿OA中的感應(yīng)電流的大小和方向；
（2）請(qǐng)求出物體在下落中達(dá)到的最大速度；
（3）當(dāng)物體下落達(dá)到最大速度后，金屬桿OC段進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，桿C、O兩端電壓多大？

Answer 1

分析 （1）已知金屬桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，根據(jù)：$E=\overline{v}BL$求出金屬桿切割測(cè)磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)歐姆定律求出電流的大小，由左手定則確定電流方向；
（2）根據(jù)歐姆定律求出金屬桿中的電流，根據(jù)安培力的公式求得金屬桿受到的安培力，最后求出物體下落的最大速度；
（3）根據(jù)串聯(lián)電路的分壓特點(diǎn)即可求出CO兩端的電壓．

解答 解：（1）已知金屬桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，OA產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)：$E=BL•\frac{L{ω}_{0}}{2}$=$\frac{1}{2}B{L}^{2}{ω}_{0}$
等效電路如圖所示：

由題題意知，${R}_{外1}=\frac{πLR}{2}$
R_外2=LR
內(nèi)阻r=LR
所以電路總電阻R_總=R_外1+R_外2+r=$（2+\frac{π}{2}）LR$
根據(jù)歐姆定律有，電路中的總電流I=$\frac{E}{{R}_{總}(cāng)}$=$\frac{{B}^{2}L{ω}_{0}}{（π+4）R}$，方向由O指向A．
（2）當(dāng)物體m達(dá)到最大速度時(shí)，重物的重力的功率等于電路中消耗的電功率：
$mgv=\frac{{E}^{2}}{{R}_{總}(cāng)}$
其中$E=B{L}^{2}\frac{ω}{2}=\frac{BLv}{2}$
由此解得物體的速度v=$\frac{4mg（2LR+\frac{πLR}{2}）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{2mgR（4+π）}{{B}^{2}L}$
（3）當(dāng)物體下落達(dá)到最大速度后，桿受到的安培力的力矩與物體的力矩相等，得：$BIL•\frac{L}{2}=mg•L$
所以O(shè)A上的電流大小為：$I=\frac{2mg}{BL}$
當(dāng)OC段在磁場(chǎng)中時(shí)，
${U}_{CD}=\frac{2mg}{BL}（\frac{πLR}{2}+LR）$=$\frac{2mgR}{B}（\frac{π}{2}+1）$
答：（1）設(shè)某一時(shí)刻圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₀，且OA邊在磁場(chǎng)中，此時(shí)電路中的電動(dòng)勢(shì)和通過(guò)金屬桿OA中的感應(yīng)電流的大小為$\frac{{B}^{2}L{ω}_{0}}{（π+4）R}$，方向由O指向A；
（2）物體在下落中達(dá)到的最大速度為$\frac{2mgR（4+π）}{{B}^{2}L}$；
（3）當(dāng)物體下落達(dá)到最大速度后，金屬桿OC段進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，桿C、O兩端電壓為$\frac{2mgR（4+π）}{{B}^{2}L}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求安培力的功率、產(chǎn)生的內(nèi)能，求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、安培力、應(yīng)用能量守恒定律即可正確解題．