Question

（20分）過(guò)山車是游樂(lè)場(chǎng)中常見(jiàn)的設(shè)施。下圖是一種過(guò)山車的簡(jiǎn)易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個(gè)圓形軌道組成，B、C、D分別是三個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑、。一個(gè)質(zhì)量為kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距m。小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)，圓形軌道是光滑的。假設(shè)水平軌道足夠長(zhǎng)，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字。試求

（1）小球在經(jīng)過(guò)第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球作用力的大小；

（2）如果小球恰能通過(guò)第二圓形軌道，B、C間距應(yīng)是多少；

（3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn)的距離。

Answer 1

（1）10.0N；（2）12.5m；(3) 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，

解析：（1）設(shè)小于經(jīng)過(guò)第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₁根據(jù)動(dòng)能定理

                    ①

 小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對(duì)它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律

                                                           ②

由①②得                                                       ③

（2）設(shè)小球在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v₂，由題意

                                                               ④

                  ⑤

由④⑤得                                                    ⑥

（3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：

I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過(guò)第三個(gè)圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v₃，應(yīng)滿足

                                                           ⑦

                                ⑧

由⑥⑦⑧得           

II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R₃，根據(jù)動(dòng)能定理

                

解得                  

為了保證圓軌道不重疊，R₃最大值應(yīng)滿足

                

解得               R₃=27.9m

綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個(gè)圓軌道的半徑須滿足下面的條件

               

或              

當(dāng)時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L′，則

               

                 

當(dāng)時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L，則