Question

7．如圖所示，MN、PQ為間距L=0.5m足夠長的平行導(dǎo)軌，NQ⊥MN．導(dǎo)軌平面與水平面間的夾角θ=37°，NQ間連接一個(gè)R=4Ω的電阻．有一方向垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T．將一根質(zhì)量m=0.05kg的金屬棒ab緊靠NQ放置在導(dǎo)軌上，且與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的電阻r=1Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．現(xiàn)由靜止開始釋放金屬棒，金屬棒沿導(dǎo)軌向下運(yùn)動(dòng)過程中始終與NQ平行．已知金屬棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，經(jīng)5s金屬棒滑行至cd處時(shí)剛好達(dá)到穩(wěn)定速度，cd 與NQ相距s=8m．重力加速度g取10m/s²．求：
（1）金屬棒達(dá)到的穩(wěn)定速度是多大？
（2）金屬棒ab從靜止釋放到滑行至cd處的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱和通過電阻R的總電荷量各是多少？
（3）若單獨(dú)給電阻R兩端加上u=U_msin40πt（V）的正弦交流電壓，電阻R經(jīng)14s產(chǎn)生的熱量與第（2）問中電阻R產(chǎn)生的焦耳熱相等．請寫出此正弦交流電壓的瞬時(shí)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)金屬棒速度穩(wěn)定時(shí)，受到的重力、支持力、安培力與滑動(dòng)摩擦力達(dá)到平衡．由法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路毆姆定律，可以列出安培力與速度的關(guān)系公式，再由列出平衡方程可求出穩(wěn)定時(shí)的速度．
（2）金屬棒的重力勢能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能以及電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱，由能量轉(zhuǎn)化及守恒求解電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式推導(dǎo)出電量表達(dá)式q=$\frac{△Φ}{R+r}$，代入求解總電荷量．
（3）根據(jù)焦耳定律和有效值與最大值的關(guān)系，求解U_m，即可得到正弦交流電壓的瞬時(shí)表達(dá)式．

解答 解：（1）金屬棒穩(wěn)定時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)金屬棒達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的速度v_m，回路中的電流為I，切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的電動(dòng)勢為E，
 E=BLv_m
由閉合電路毆姆定律得：I=$\frac{E}{R+r}$
由受力平衡可得：BIL+μmgcosθ=mgsinθ
聯(lián)立得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$+μmgcosθ=mgsinθ
由以上各式可得：v_m=$\frac{mg（sinθ-μcosθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{0.05×10×（sIn37°-0.5×cos37°）×（4+1）}{{1}^{2}×0．{5}^{2}}$=2m/s
（2）由能量轉(zhuǎn)化及守恒可得：mgssinθ=Q+μmgcosθ•s+$\frac{1}{2}$mv_m²
可得：Q=mgssinθ-μmgcosθ•s-$\frac{1}{2}$mv_m²=0.05×10×8×sin37°-0.5×0.05×10×cos37°×8-$\frac{1}{2}$×0.05×2²=0.7J
則電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{4}{5}$Q=0.56J
此過程中流過電阻R的電荷量為：q=$\overline{I}$△t  
又 $\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$，$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$
可得：q=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BLs}{R+r}$=$\frac{1×0.5×8}{4+1}$C=0.8C
（3）正弦交流電壓u=U_msin40πt（V）的有效值為：U=$\frac{\sqrt{2}}{2}$U_m；
據(jù)題得：Q_R=$\frac{{U}^{2}}{R}$t
則得：U=0.4V，U_m=$\frac{2}{5}\sqrt{2}$V
故正弦交流電壓的瞬時(shí)表達(dá)式為：u=$\frac{2}{5}\sqrt{2}$sin40πt（V）．
答：（1）金屬棒達(dá)到的穩(wěn)定速度是2m/s．
（2）金屬棒ab從靜止釋放到滑行至cd處的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱和通過電阻R的總電荷量各是0.56J和0.8C．
（3）正弦交流電壓的瞬時(shí)表達(dá)式為u=$\frac{2}{5}\sqrt{2}$sin40πt（V）．

點(diǎn)評 本題要明確金屬棒穩(wěn)定時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，能熟練推導(dǎo)出安培力表達(dá)式和感應(yīng)電荷量表達(dá)式是關(guān)鍵．要注意對于交變電流，求解熱量時(shí)要用有效值，不能用最大值．