Question

19．用如圖所示的水平傳送帶AB和斜面BC將貨物運送到斜面的頂端．傳送帶AB的長度L=11m，上表面保持勻速向右運行，運行的速度v=12m/s．傳送帶B端靠近傾角θ=37°的斜面底端，斜面底端與傳送帶的B端之間有一段長度可以不計的小圓�。�在A、C處各有一個機器人，A處機器人每隔△t=1.0s將一個質量m=10kg的貨物箱（可視為質點）輕放在傳送帶A端，貨物箱經(jīng)傳送帶和斜面后到達斜面頂端的C點時速度恰好為零，C點處機器人立刻將貨物箱搬走．已知斜面BC的長度s=5.0m，傳送帶與貨物箱之間的動摩擦因數(shù)μ₀=0.55，貨物箱由傳送帶的右端到斜面底端的過程中速度大小損失原來的$\frac{1}{11}$，g=10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）斜面與貨物箱之間的動摩擦因數(shù)μ；
（2）從第一個貨物箱放上傳送帶A端開始計時，在t₀=3.0s的時間內(nèi)，所有貨物箱與傳送帶的摩擦產(chǎn)生的熱量Q；
（3）如果C點處的機器人操作失誤，未能將第一個到達C點的貨物箱搬走而造成與第二個貨物箱在斜面上相撞．求兩個貨物箱在斜面上相撞的位置到C點的距離．（本問結果可以用根式表示）

Answer 1

分析 （1）貨物箱在傳送帶上做勻加速運動過程，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由運動學公式求出貨物箱運動到傳送帶右端時的速度，進而求出貨物箱剛沖上斜面時的速度，貨物箱在斜面上向上運動過程中根據(jù)運動學公式求出加速度，對貨物箱進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律即可求得μ；
（2）3.0s內(nèi)放上傳送帶的貨物箱有3個，分別求出三個貨物箱相對于傳送帶的位移，根據(jù)與傳送帶的摩擦產(chǎn)生的熱量Q等于克服摩擦力所做的功，即可求解；
（3）先計算第一個貨物箱到達C點時，第二個貨物箱的位置，此時第一個貨物箱向下加速運動，第二個貨物箱向上減速運動，分別求出它們的加速度，再根據(jù)運動學公式即可求解

解答 解：（1）貨物箱在傳送帶上做勻加速運動過程，根據(jù)牛頓第二定律有：
μ₀ mg=ma₀
解得：a₀=μ₀g=5.5m/s²                                      
由運動學公式有：v₁²=2a₀L
解得貨物箱運動到傳送帶右端時的速度大小為：v₁=11m/s
貨物箱剛沖上斜面時的速度為：v₂=（1-$\frac{1}{11}$）v₁=10m/s
貨物箱在斜面上向上運動過程中有：v₂²=2a₁s
解得：a₁=10m/s²                                   
根據(jù)牛頓第二定律與：mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
解得：μ=0.5
（2）3.0s內(nèi)放上傳送帶的貨物箱有3個，前2個已經(jīng)通過傳送帶，它們在傳送帶上的加速時間t₁=t₂=2.0s；第3個還在傳送帶上運動，其加速時間為t₃=1.0s．
前2個貨物箱與傳送帶之間的相對位移為：
△s=v t₁-$\frac{1}{2}$v₁t₁=13m
第3個貨物箱與傳送帶之間的相對位移為：
△s′=vt₃-$\frac{1}{4}$v₁t₃=9.25m                          
前2個貨物箱與傳送帶摩擦產(chǎn)生的總熱量為：
Q₁=2μ₀ mg△s=1430J
第三個貨物箱與傳送帶摩擦產(chǎn)生的熱量為：
Q₂=μ₀ mg△s′=508.75J．                         
總共生熱為：Q=Q₁+Q₂=1938.75J．                           
（3）貨物箱由A運動到B的時間為2.0s，由B運動到C的時間為1.0s，可見第一個貨物箱沖上斜面C端時第二個貨物箱剛好沖上斜面．貨物箱沿斜面向下運動，根據(jù)牛頓第二定律有：
mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
解得加速度大小為：a₂=2.0m/s²                                 
設第一個貨物箱在斜面C端沿斜面向下運動與第二個貨物箱相撞的過程所用時間為t，有：v₂t-$\frac{1}{2}$a₁t²+$\frac{1}{2}$a₂t²=s
解得：$t=\frac{5-\sqrt{5}}{4}$s                              
兩個貨物箱在斜面上相遇的位置到C端的距離為：s₁=$\frac{1}{2}$a₂t²=$\frac{30-10\sqrt{5}}{16}$m               
答：（1）斜面與貨物箱之間的動摩擦因數(shù)μ為0.5；
（2）從第一個貨物箱放上傳送帶A端開始計時，在t₀=3.0s的時間內(nèi)，所有貨物箱與傳送帶的摩擦產(chǎn)生的熱量Q為1938.75J；
（3）兩個貨物箱在斜面上相撞的位置到C點的距離為$\frac{30-10\sqrt{5}}{16}$m．

點評 該題涉及到相對運動的過程，要認真分析物體的受力情況和運動情況，本題難度較大