Question

如圖所示，n個(gè)相同的木塊（視為質(zhì)點(diǎn)），每塊的質(zhì)量都是m，放置在傾角為θ的斜面上，相鄰兩木塊間的距離為l，最下端的木塊距底端也是l，木塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，如圖所示，在開(kāi)始時(shí)刻，第一個(gè)木塊以初速度v₀沿斜面下滑，其余所有木塊都靜止. 由于第一個(gè)木塊的下滑將引起一系列的碰撞，在每次發(fā)生碰撞后，發(fā)生碰撞的木塊都粘在一起運(yùn)動(dòng)，直到最后n個(gè)木塊到達(dá)斜面底端時(shí)剛好停在底端.

     求：（1）第一次碰撞前一瞬間第一個(gè)木塊的動(dòng)能E_k；

       （2）第一次碰撞過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E₁與碰撞前木塊1的動(dòng)能E_k1的比值是多少？

       （3）在整個(gè)過(guò)程中由于碰撞而損失的總機(jī)械能△E.

Answer 1

（1）依題意，最后一個(gè)木塊停在斜面底端，表明木塊除碰撞以外其他時(shí)間內(nèi)所受合外力與運(yùn)動(dòng)方向相反，木塊沿斜面做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度大小為a，方向沿斜面向上

            ①

             

         第一次碰撞前第一個(gè)木塊的速度為，動(dòng)能為

                      

                     

（2）1、2兩木塊碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒 

         上述過(guò)程中損失的機(jī)械能

                      

          

         解得   

（3）由可知木塊下滑加速度與質(zhì)量無(wú)關(guān)，從第一個(gè)木塊開(kāi)始下滑的整個(gè)過(guò)程中，除每一次碰撞的瞬間外，下滑加速度均為a，方向沿斜面向上。在整個(gè)過(guò)程中，第n個(gè)木塊運(yùn)動(dòng)距離為,第n－1個(gè)木塊運(yùn)動(dòng)的距離為2。…第一個(gè)木塊運(yùn)動(dòng)的距離為n。除碰撞瞬間外，各木塊克服合外力做功

                   

         整個(gè)過(guò)程中，各次碰撞損失的總機(jī)械能為

                    

         解得