Question

17．如圖所示，平面直角坐標系xOy的第二象限內存在場強大小為E，方向與x軸平行且沿x軸負方向的勻強電場，在第一、三、四象限內存在方向垂直紙面向里的勻強磁場．現(xiàn)將一擋板放在第二象限內，其與x，y軸的交點M、N到坐標原點的距離均為2L．一質量為m，電荷量絕對值為q的帶負電粒子在第二象限內從距x軸為L、距y軸為2L的A點由靜止釋放，當粒子第一次到達y軸上C點時電場突然消失．若粒子重力不計，粒子與擋板相碰后電荷量及速度大小不變，碰撞前后，粒子的速度與擋板的夾角相等（類似于光反射時反射角與人射角的關系）．求：
（1）C點的縱坐標．
（2）若要使粒子再次打到檔板上，磁感應強度的最大值為多少？
（3）磁感應強度為多大時，粒子從A點出發(fā)與檔板總共相碰兩次后到達C點？這種情況下粒子從A點出發(fā)到第二次到達C點的時間多長？

Answer 1

分析 （1）粒子向沿著+x方向做勻加速直線運動，然后碰撞后做類似平拋運動，根據(jù)動能定理和類似平拋運動的分位移公式列式求解即可；
（2）若要使粒子再次打到檔板上，臨界情況是軌跡圓經(jīng)過C點，畫出軌跡，結合幾何關系求解軌道半徑，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解磁感應強度的最大值；
（3）畫出臨界軌跡，粒子經(jīng)過坐標原點后射向極板并反彈，再次經(jīng)過磁場偏轉后沿著直線射向C點，結合幾何關系求解出軌道半徑，然后分階段求解運動的時間．

解答 解：（1）設粒子與板作用前瞬間速率為v₀，由動能定理，有：
qEL=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$
粒子與板碰撞后在電場中做類似平拋運動，設到達y軸時與C點的豎直距離為y，
在x軸方向，有：L=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²
在y軸方向，有：y=v₀t 
由以上二式得到：t=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，y=2L
故粒子第一次到達y軸時距坐標原點為：y′=y+L=3L
（2）粒子到C點時，x軸方向的速度分量為：v_x=at=$\frac{qE}{m}$•$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
此時速度v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$
設v與x軸正方向的夾角為θ，有：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，故θ=45°
粒子進入磁場后將做勻速圓周運動，轉過270°后打在板上的N點時，磁感應強度B₁為最大，有：r₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L
又qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，
故B₁=$\frac{mv}{q{r}_{1}}$=2$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$
（3）當磁感應強度的大小為B₂時，粒子做半徑為r₂的圓周運動，到達y軸上的O點之后，沿著直線運動打到板上，故：r₂=$\frac{3}{2}$L
同理B₂=$\frac{mv}{q{r}_{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$
此后粒子返回O點，進入磁場后做勻速圓周運動，由對稱性可知粒子將到達D點，接著做直線運動再次到達C點，從A到板，有：
L=$\frac{1}{2}$$\frac{Eq}{m}$t${\;}_{1}^{2}$，
故t₁=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
在磁場中做勻速圓周運動的時間：t₂=$\frac{3}{2}$T=$\frac{9π}{4}$$\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$
從O到板再返回O點做勻速直線運動時間為：t₃=$\frac{2\sqrt{2}L}{v}$=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
從x軸上D點做勻速直線運動到C點的時間為：t₄=$\frac{3\sqrt{2}L}{v}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
故t_總=t+t₁+t₂+t₃+t₄=$\frac{9（2+π）}{4}$$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
答：（1）C點的縱坐標為（0，3L）．
（2）若要使粒子再次打到檔板上，磁感應強度的最大值為2$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$；
（3）磁感應強度為$\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$時，粒子與檔板總共相碰兩次后到達C點；這種情況下粒子從A點出發(fā)到第二次到達C點的時間為t₄=$\frac{9（2+π）}{4}$$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$．

點評 本題關鍵是明確粒子的受力情況和運動情況，分直線加速、類似平拋運動、勻速圓周運動和勻速直線運動過程進行分析，切入點是畫出臨界軌跡，結合幾何關系得到軌道半徑．