Question

4．如圖所示，水平放置的光滑平行金屬導軌MN，PQ處于豎直向下的足夠大的勻強磁場中，導軌間距為L，導軌的右端接有阻值為R的電阻，一根質(zhì)量為m，電阻為r的金屬棒垂直導軌放置，并與導軌接觸良好．現(xiàn)使金屬棒以一定初速度向左運動，它先后通過位置a，b后，到達位置c處剛好靜止．已知磁場的磁感應強度為B，金屬棒通過a、b處的速度分別為v_a，v_b，a，b間距離等于b，c間距離，導軌的電阻忽略不計．下列說法中正確的是（　　）

• A． 金屬棒運動到a處時的加速度大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{mR}$
• B． 金屬棒運動到b處時通過電阻的電流方向由N指向Q
• C． 金屬棒在a→b過程中與b→c過程中通過電阻的電荷量相等
• D． 金屬棒在a處的速度v_a是其在b處速度v_b的$\sqrt{2}$倍

Answer 1

分析 根據(jù)法拉第定律、歐姆定律和安培力公式求出安培力，再由牛頓第二定律求加速度．由右手定則判斷感應電流的方向．根據(jù)q=$\frac{△Φ}{R+r}$分析電荷量的關系．由于金屬棒做變減速運動，可運用動量定理求解v_a與v_b的關系．

解答 解：A、金屬棒運動到a處時，有 E=BLv_a，I=$\frac{E}{R+r}$，F(xiàn)=BIL，則得安培力 F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{a}}{R+r}$
由牛頓第二定律得加速度 a=$\frac{F}{m}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{a}}{m（R+r）}$，故A錯誤．
B、金屬棒運動到b處時，由右手定則判斷知，通過電阻的電流方向由Q到N．故B錯誤．
C、金屬棒在a→b過程中，通過電阻的電荷量 q₁=$\overline{I}t$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$t=$\frac{△Φ{\;}_{1}}{R+r}$，同理，在b→c的過程中，通過電阻的電荷量 q₂=$\frac{△{Φ}_{2}}{R+r}$，由于△Φ₁=△Φ₂，可得q₁=q₂．故C正確．
D、在b→c的過程中，對金屬棒運用動量定理得：-$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}△t$=0-mv_b，而$\sum_{\;}^{\;}$v△t=l_bc，解得 v_b=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{l}_{bc}}{m（R+r）}$
同理，在a→c的過程中，對金屬棒運用動量定理得：-$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}△t$′=0-mv_a，而$\sum_{\;}^{\;}$v△t′=l_ac，解得 v_a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{l}_{ac}}{m（R+r）}$，因l_ac=2l_bc，因此v_a=2v_b．故D錯誤．
故選：C．

點評 解決本題的關鍵是推導出安培力表達式、感應電荷量表達式．對于非勻變速運動，研究速度可根據(jù)動量定理求解．