Question

19．如圖甲所示，M，N為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個(gè)小孔O、O′且正對(duì)，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)問的變化如圖乙所示（垂直于紙面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�方向）．有一群正離子在t=0時(shí)垂直于M板從小孔O射入磁場(chǎng)，己知正離子質(zhì)量為胡，帶電荷量為q正離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周 運(yùn)動(dòng)的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為T₀，不考慮由于磁場(chǎng)變化而產(chǎn)生的電場(chǎng)的影響，不計(jì)離子所受重力．
求：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大��；
（2）若正離子從O′孔垂直于N板射出磁場(chǎng)所用的時(shí)間最短，請(qǐng)畫出其運(yùn)動(dòng)軌跡并求出該最短時(shí)間；
（3）要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場(chǎng)，正離子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₀的可能值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，由洛倫茲力提供向心力，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式，可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）結(jié)合題目的要求，做出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合粒子運(yùn)動(dòng)的方向可知，當(dāng)運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè)周期時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短；
（3）由幾何關(guān)系可確定運(yùn)動(dòng)半徑與已知長(zhǎng)度的關(guān)系，由正離子在兩板運(yùn)動(dòng)n個(gè)周期，從而即可求解．

解答 解：（1）正離子射入磁場(chǎng)，洛倫茲力提供向心力${B}_{0}q{v}_{0}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期，${T}_{0}=\frac{2πR}{{v}_{0}}$  
聯(lián)立兩式得磁感應(yīng)強(qiáng)度，${B}_{0}=\frac{2πm}{q{T}_{0}}$
（2）要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場(chǎng)，v₀的方向應(yīng)如圖所示，
結(jié)合粒子運(yùn)動(dòng)的方向可知，當(dāng)運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè)周期時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，所以：t_m=T₀
（3）兩板之間正離子只運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期，即T₀，則$R=\fracxdjljvr{4}$
兩板之間正離子運(yùn)動(dòng)n個(gè)周期，即nT₀，則R=$\frac5zpp5pv{4n}$，
聯(lián)立上式可得，正離子的速度${v}_{0}=\frac{{B}_{0}qR}{m}$=$\frac{πd}{2n{T}_{0}}\;（n=1，2，3…）$
答：（1 ）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小 ${B}_{0}=\frac{2πm}{q{T}_{0}}$；
（2）若正離子從O′孔垂直于N板射出磁場(chǎng)所用的時(shí)間最短，畫出其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，該最短時(shí)間是T₀；
（3）要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場(chǎng)，正離子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₀的可能值為$\frac{πd}{2n{T}_{0}}$（n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 考查離子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握牛頓第二定律的應(yīng)用，理解幾何關(guān)系的運(yùn)用，同時(shí)注意運(yùn)動(dòng)的周期性．