Question

4．已知地球表面的重力加速度為g，地球的半徑為R，求：
（1）地球的第一宇宙速度（環(huán)繞速度）；
（2）若地球自轉(zhuǎn)的周期為T，求地球同步衛(wèi)星的線速度和距地面的高度．

Answer 1

分析 第一宇宙速度是衛(wèi)星在近地圓軌道上的環(huán)繞速度，重力等于萬有引力，引力等于向心力，列式求解；
地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，可以求出地球同步衛(wèi)星的高度．

解答 解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，對于地球表面質(zhì)量為m₀的物體，有：${m_0}g=G\frac{{M{m_0}}}{R^2}$…①
設(shè)質(zhì)量為m的衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，其線速度為v，軌道半徑為r，根據(jù)向心力公式有：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$…②
當(dāng)r=R時，v為地球的第一宇宙速度，所以，根據(jù)①②式及r=R 可得，地球的第一宇宙速度為：$v=\sqrt{gR}$                      
（2）設(shè)同步衛(wèi)星質(zhì)量為m′，到地心的距離為r?，其繞地球運(yùn)行周期與地球自轉(zhuǎn)周期T相同，
則：$m′\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r′=G\frac{Mm′}{r{′}^{2}}$…③
由①③式得r′=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$             
 同步衛(wèi)星離地高度為h=r′-R=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R         
 同步衛(wèi)星的線速度$v′=\frac{2πr′}{T}$=$\frac{2π\(zhòng)root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}}{T}$=$\root{3}{{\frac{{2πg(shù){R^2}}}{T}}}$
答：（1）地球的第一宇宙速度（環(huán)繞速度）$\sqrt{gR}$；
（2）若地球自轉(zhuǎn)的周期為T，求地球同步衛(wèi)星的線速度$\root{3}{{\frac{{2πg(shù){R^2}}}{T}}}$，和距地面的高度$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．

點(diǎn)評 解答此題要清楚地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力．