Question

【題目】（18分）下圖為某種離子加速器的設(shè)計(jì)方案.兩個(gè)半圓形金屬盒內(nèi)存在相同的垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng).其中和是間距為的兩平行極板，其上分別有正對(duì)的兩個(gè)小孔和，，P為靶點(diǎn)，（為大于1的整數(shù)）.極板間存在方向向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩極板間電壓為.質(zhì)量為、帶電量為的正離子從點(diǎn)由靜止開(kāi)始加速，經(jīng)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域.當(dāng)離子打到極板上區(qū)域（含點(diǎn)）或外殼上時(shí)將會(huì)被吸收.兩虛線之間的區(qū)域無(wú)電場(chǎng)和磁場(chǎng)存在，離子可勻速穿過(guò).忽略相對(duì)論效應(yīng)和離子所受的重力.求：

（1）離子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)僅加速一次后能打到P點(diǎn)所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；

（2）能使離子打到P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的所有可能值；

（3）打到P點(diǎn)的能量最大的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

Answer 1

【答案】（1）（2），

（3），

【解析】

（1）離子經(jīng)電場(chǎng)加速，由動(dòng)能定理：，可得

磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

剛好打在P點(diǎn)，軌跡為半圓，由幾何關(guān)系可知

聯(lián)立解得

（2）若磁感應(yīng)強(qiáng)度較大，設(shè)離子經(jīng)過(guò)一次加速后若速度較小，圓周運(yùn)動(dòng)半徑較小，不能直接打在P點(diǎn)，而做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)右端，再勻速直線到下端磁場(chǎng)，將重新回到O點(diǎn)重新加速，直到打在P點(diǎn)。設(shè)共加速了n次，有：

且

解得：，

要求離子第一次加速后不能打在板上，有，且，

解得：

故加速次數(shù)n為正整數(shù)最大取

即

（3）加速次數(shù)最多的離子速度最大，取，離子在磁場(chǎng)中做n-1個(gè)完整的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和半個(gè)圓周打到P點(diǎn)。

由勻速圓周運(yùn)動(dòng)

電場(chǎng)中一共加速n次，可等效成連續(xù)的勻加速直線運(yùn)動(dòng).由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式

可得：