Question

19．如圖所示的xOy坐標(biāo)系中，y軸右側(cè)空間存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于xOy平面向里．P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2L，0），Q₁、Q₂兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，L），（0，-L）．坐標(biāo)為（-$\frac{1}{3}$L，0）處的C點(diǎn)固定一平行于y軸放置的長(zhǎng)為$\frac{2}{3}$L的絕緣彈性擋板，C為擋板中點(diǎn)．帶電粒子與彈性絕緣擋板碰撞前后，沿y方向分速度不變，沿x方向分速度反向，大小不變．帶負(fù)電的粒子質(zhì)量為m，電量為q，不計(jì)粒子所受重力．若粒子以不同的初速度從P點(diǎn)沿PQ₁方向運(yùn)動(dòng)到Q₁點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)．求：
（1）若粒子不與擋板碰撞恰好回到P點(diǎn)，該粒子的初速度大小
（2）若粒子只與擋板碰撞兩次并能回到P點(diǎn)，該粒子的初速度大小．

Answer 1

分析 （1）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，根據(jù)半徑公式求出粒子的速度．
（2）抓住與擋板碰撞兩次并能回到P點(diǎn)，作出軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系，運(yùn)用半徑公式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）由題意畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖（甲）所示，


設(shè)PQ₁與x軸正方向夾角為θ，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大小為R₁，
由幾何關(guān)系得：R₁cosθ=L
其中：$cosθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
粒子磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)$qvB=m\frac{{{v_1}^2}}{R_1}$
解得：${v_1}=\frac{{\sqrt{5}qBL}}{2m}$
（2）由題意畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖（乙）所示，

設(shè)PQ₁與x軸正方向夾角為θ，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大小為R₃，
偏轉(zhuǎn)一次后在y負(fù)方向偏移量為△y₁，
由幾何關(guān)系得：△y₁=2R₃cosθ，
為保證粒子最終能回到P，粒子與擋板碰撞后，速度方向應(yīng)與PQ₁連線平行，每碰撞一次，粒子進(jìn)出磁場(chǎng)在y軸上這段距離△y₂（如圖中A、E間距）
可由題給條件，有$\frac{{△{y_2}/2}}{L/3}=tanθ$
得$△{y_2}=\frac{L}{3}$
當(dāng)粒子只碰二次，其幾何條件是 3△y₁-2△y₂=2L
解得：${R_3}=\frac{{2\sqrt{5}}}{9}L$
粒子磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)：$qvB=m\frac{v^2}{R_3}$
解得：$v=\frac{{2\sqrt{5}qBL}}{9m}$
答：（1）粒子不與擋板碰撞恰好回到P點(diǎn)，該粒子的初速度大小為$\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$；
（2）若粒子只與擋板碰撞兩次并能回到P點(diǎn)，該粒子的初速度大小為$\frac{2\sqrt{5}qBL}{9m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵作出三種粒子的軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系，運(yùn)用半徑公式進(jìn)行求解，難度較大，對(duì)數(shù)學(xué)幾何的關(guān)系要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．