Question

如圖甲所示是利用渦流冶煉金屬的感應爐示意圖，冶煉爐內(nèi)裝入被冶煉的金屬，線圈通上高頻交變電流，這時被冶煉的金屬中就產(chǎn)生很強的渦流，從而產(chǎn)生大量的熱使金屬熔化，這種冶煉方法速度快，溫度容易控制，并能避免有害雜質(zhì)混入被冶煉的金屬中，因此適于冶煉特種合金和特種鋼，其簡化模型如圖乙所示．假設(shè)金屬環(huán)的阻值R=10πΩ，半徑r=10cm，其外側(cè)線圈中通以高頻的交流電，線圈中產(chǎn)生垂直于金屬環(huán)所在平面的變化磁場，磁場的磁感應強度B隨時間變化關(guān)系為B=0.1sin（4×10⁴t）（T）．不計溫度變化對電阻的影響，計算結(jié)果可保留π．求：
（1）金屬環(huán)中產(chǎn)生的感應電動勢最大值；
（2）1s時間內(nèi)金屬環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）在磁場變化的0時刻到四分之一周期時間內(nèi)，通過金屬環(huán)截面的電荷量．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應定律為E=

△B

△t

求出感應電動勢，由歐姆定律求出感應電流．畫出電流圖象．
（2）根據(jù)電流的熱效應，求出此電流在一個周期通過阻值為R的電阻產(chǎn)生的熱量，與直流相比較，求出有效值．然后根據(jù)焦耳定律求出熱量．
（3）根據(jù)法拉第電磁感應定律、歐姆定律、電流與電量的關(guān)系式求解通過圓環(huán)的電荷量．

解答：解：（1）由于磁感應強度B隨時間變化關(guān)系為B=0.1sin（4×10⁴t）（T），
所以金屬環(huán)中的電動勢：
e=

△Φ

△t

=

△B

△t

?S=0.1×4×104×π×0．12cos(4×104t)V=40πcos(4×104t)V
金屬環(huán)中產(chǎn)生的感應電動勢最大值是40πV
（2）金屬環(huán)中產(chǎn)生的感應電動勢有效值：E=

Em

2

=20

2

πV
1s時間內(nèi)金屬環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱：Q=

E2

R

=

(20 2 π)2

10π

=80πJ
（3）在磁場變化的0時刻到四分之一周期時間內(nèi)，磁通量從0增大到0.1T，
通過金屬環(huán)截面的電荷量：q=

. e

R

?△t=

△Φ

△t?R

?△t=

△B?S

R

=

0.1×π×0．12

10π

=1×10-4C
答：（1）金屬環(huán)中產(chǎn)生的感應電動勢最大值是40πV；
（2）1s時間內(nèi)金屬環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱是80πJ；
（3）在磁場變化的0時刻到四分之一周期時間內(nèi)，通過金屬環(huán)截面的電荷量是1×10^-4C．

點評：本題運用法拉第電磁感應定律、歐姆定律和焦耳定律研究高頻焊接的原理，抓住B-t的變化率是B對t的導數(shù)，即求出磁通量的變化率，得到感應電動勢．根據(jù)有效值的定義求解有效值．求解電量的關(guān)鍵是掌握法拉第電磁感應定律E=

△Φ

△t

=

△BS

R

．，