Question

12．2012年我們中國(guó)有了自己的航空母艦“遼寧號(hào)”，航空母艦上艦載機(jī)的起飛問題一直備受關(guān)注．某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)通過查閱資料對(duì)艦載機(jī)的起飛進(jìn)行了模擬設(shè)計(jì)．如圖，艦載機(jī)總質(zhì)量為m，發(fā)動(dòng)機(jī)額定功率為P，在水平軌道運(yùn)行階段所受阻力恒為f．艦載機(jī)在A處以額定功率啟動(dòng)，同時(shí)開啟電磁彈射系統(tǒng)，它能額外給艦載機(jī)提供水平向右、大小為F的恒定推力．經(jīng)歷時(shí)間t₁，艦載機(jī)運(yùn)行至B處，速度達(dá)到v₁，電磁彈射系統(tǒng)關(guān)閉．艦載機(jī)繼續(xù)以額定功率加速運(yùn)行至C處，經(jīng)歷的時(shí)間為t₂，速度達(dá)到v₂．此后，艦載機(jī)進(jìn)入傾斜曲面軌道，在D處離開航母起飛．請(qǐng)根據(jù)以上信息求解下列問題．

（1）電磁彈射系統(tǒng)關(guān)閉的瞬間，艦載機(jī)的加速度．
（2）水平軌道AC的長(zhǎng)度．
（3）若不啟用電磁彈射系統(tǒng)，艦載機(jī)在A處以額定功率啟動(dòng)，經(jīng)歷時(shí)間t到達(dá)C處，假設(shè)速度大小仍為v₂，則艦載機(jī)的質(zhì)量應(yīng)比啟用電磁彈射系統(tǒng)時(shí)減少多少？（該問AC間距離用x表示．）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)功率公式P=F₁v₁，求解出發(fā)動(dòng)機(jī)的牽引力，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度．
（2）艦載機(jī)在A處以額定功率啟動(dòng)，同時(shí)開啟電磁彈射系統(tǒng)，它能額外給艦載機(jī)提供水平向右、大小為F的恒定推力．先根據(jù)動(dòng)能定理研究BC段，列出方程；電磁彈射系統(tǒng)關(guān)閉．艦載機(jī)繼續(xù)以額定功率加速運(yùn)行至C處，再運(yùn)用動(dòng)能定理列式，聯(lián)立即可求解AC的長(zhǎng)度．
（3）全過程運(yùn)用動(dòng)能定理求出艦載機(jī)的質(zhì)量，即可求解．

解答 解：（1）根據(jù)功率表達(dá)式可得：${F_1}=\frac{P}{v_1}$…①
由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有：F₁-f=ma…②
得：$a=\frac{P}{{{v_1}m}}-\frac{f}{m}$…③
（2）艦載機(jī)在A處以額定功率啟動(dòng)，同時(shí)開啟電磁彈射系統(tǒng)，它能額外給艦載機(jī)提供水平向右、大小為F的恒定推力．經(jīng)歷時(shí)間t₁，艦載機(jī)運(yùn)行至B處，速度達(dá)到v₁，由動(dòng)能定理得：
  $P{t_1}+F{x_1}-f{x_1}=\frac{1}{2}m{v_1}^2$…④
電磁彈射系統(tǒng)關(guān)閉．艦載機(jī)繼續(xù)以額定功率加速運(yùn)行至C處，經(jīng)歷的時(shí)間為t₂，速度達(dá)到v₂．同理得   
  $P{t_2}-f{x_2}=\frac{1}{2}m{v_2}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2$…⑤
艦載機(jī)總位移 AC=x₁+x₂ …⑥
聯(lián)④⑤⑥得$AC=\frac{{\frac{1}{2}m{v_1}^2-P{t_1}}}{F-f}+\frac{{P{t_2}+\frac{1}{2}m{v_1}^2-\frac{1}{2}m{v_2}^2}}{f}$…⑦
（3）對(duì)全過程，根據(jù)動(dòng)能定理有  $Pt-fx=\frac{1}{2}{m_1}{v_2}^2$…⑧
應(yīng)減少的質(zhì)量△m=m-m₁ …⑨
得$△m=m-\frac{2（pt-fx）}{v_2^2}$…⑩
答：（1）電磁彈射系統(tǒng)關(guān)閉的瞬間，艦載機(jī)的加速度為$\frac{P}{{v}_{1}m}$-$\frac{f}{m}$．
（2）水平軌道AC的長(zhǎng)度是$\frac{\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-P{t}_{1}}{F-f}$+$\frac{P{t}_{2}+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}}{f}$．
（3）艦載機(jī)的質(zhì)量應(yīng)比啟用電磁彈射系統(tǒng)時(shí)減少為m-$\frac{2（Pt-fx）}{{v}_{2}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 靈活運(yùn)用動(dòng)能定理處理變力做功問題是解決本題的關(guān)鍵，運(yùn)用時(shí)要靈活選取研究的過程，掌握功率一定時(shí)，W=Pt是求功的常用方法．