Question

1．如圖所示，一束截面為圓形（半徑R）的平行白光垂直射向一玻璃半球的平面，經(jīng)折射后在屏幕S上形成一個(gè)圓形彩色亮區(qū)．已知玻璃半球的半徑為R，屏幕S至球心的距離為d（d＞3R），不考慮光的干涉和衍射，試問：
①在屏幕S上形成的圓形亮區(qū)的最外側(cè)是什么顏色？
②若玻璃半球?qū)ψ钔鈧?cè)色光的折射率為n，求出圓形亮區(qū)的最大半徑．

Answer 1

分析 ①當(dāng)光線從空氣垂直射入半圓玻璃磚，光線不發(fā)生改變，當(dāng)入射角小于臨界角時(shí)，光線才能再?gòu)牟ＡТu射出，所以平行白光中的折射率不同，導(dǎo)致臨界角不同，因此偏折程度不同，從而確定圓形亮區(qū)的最外側(cè)的顏色；
②光線沿直線從O點(diǎn)穿過玻璃，方向不變．從A點(diǎn)射出玻璃磚的光線方向向右偏折，射到屏幕S上圓形亮區(qū)，作出光路圖，由光的折射定律結(jié)合數(shù)學(xué)幾何知識(shí)求出圓形亮區(qū)的最大半徑．

解答 解：①在屏幕S上形成的圓形亮區(qū)的最外側(cè)是紫色．
因?yàn)楫?dāng)平行光從玻璃中射向空氣時(shí)，由于紫光的折射率的最大，臨界角最小，所以首先發(fā)生全反射，因此出射光線與屏幕的交點(diǎn)最遠(yuǎn)．故圓形亮區(qū)的最外側(cè)是紫光．
②如圖所示，當(dāng)光在圖中A點(diǎn)沿切線方向射出玻璃時(shí)，光線射在屏上最外側(cè)C點(diǎn)，在光屏上形成一個(gè)以CD為半徑的圓形光斑．
設(shè)紫光臨界角為C，則圖中α=C
由全反射的知識(shí)：sinC=$\frac{1}{n}$，
得：sinα=$\frac{1}{n}$
所以有：cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\sqrt{1-\frac{1}{{n}^{2}}}$
tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$
由幾何知識(shí)可得：OB=$\frac{R}{cosα}$=$\frac{nR}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$
BD=d-OB=d-$\frac{nR}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$
CD=$\frac{BD}{tanα}$=$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}d-nR}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$
CD即為圓形亮區(qū)的最大半徑．
答：①在屏幕S上形成的圓形亮區(qū)的最外側(cè)是紫色．
②圓形亮區(qū)的最大半徑為$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}d-nR}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何光學(xué)問題，關(guān)鍵是作出光路圖，理解形成圓形光斑的原因，要掌握全反射的條件，根據(jù)幾何知識(shí)解題．