Question

11．一些恒星在它一生的最后階段，可以通過(guò)強(qiáng)大的引力把其中的物質(zhì)緊緊的壓在一起，密度很大，使以3×10⁸m/s的速度傳播的光都不能逃逸，這樣的天體可以稱為黑洞，如果太陽(yáng)的質(zhì)量為2×10³⁰kg，引力常量為G=6.67×10^-11N•m²/kg²，倘若要把太陽(yáng)收縮成黑洞，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（已知黑洞的逃逸速度為第一宇宙速度的$\sqrt{2}$倍）（　�。�

• A． 太陽(yáng)的半徑應(yīng)小于2.96km
• B． 太陽(yáng)的密度可能為1.8×10²⁰kg/m³
• C． 太陽(yáng)的密度可能為1.8×10¹⁸kg/m³
• D． 太陽(yáng)表面的重力加速度大小可能為地球表面重力加速度大小的10¹³倍

Answer 1

分析 任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應(yīng)大于光速，根據(jù)$c≤\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，求出太陽(yáng)的半徑范圍，根據(jù)密度公式求太陽(yáng)的密度，根據(jù)重力加速度的公式$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$求太陽(yáng)表面的重力加速度，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行求解

解答 解：A、由題目所提供的信息可知，任何天體均存在其所對(duì)應(yīng)的逃逸，太陽(yáng)收縮成黑洞，則黑洞質(zhì)量為太陽(yáng)質(zhì)量，根據(jù)$c≤\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，得
$R≤\frac{2GM}{{c}_{\;}^{2}}=\frac{2×6.67×1{0}_{\;}^{-11}×2×1{0}_{\;}^{30}}{（3×1{0}_{\;}^{8}）_{\;}^{2}}$=$2.96×1{0}_{\;}^{3}m$，即太陽(yáng)的半徑應(yīng)小于2.96km，故A正確；
BC、太陽(yáng)的體積$V≤\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}=1.09×1{0}_{\;}^{11}{m}_{\;}^{3}$，太陽(yáng)的密度$ρ≥\frac{M}{V}=\frac{2×1{0}_{\;}^{30}}{1.09×1{0}_{\;}^{11}}=1.8×1{0}_{\;}^{19}kg/{m}_{\;}^{3}$，故B正確，C錯(cuò)誤；
D、太陽(yáng)表面的重力加速度$g≥\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{6.67×1{0}_{\;}^{-11}×2×1{0}_{\;}^{30}}{（2.96×1{0}_{\;}^{3}）_{\;}^{2}}$=$1.5×1{0}_{\;}^{13}m/{s}_{\;}^{2}$，地球表面重力加速度$g′=10m/{s}_{\;}^{2}$
$\frac{g}{g′}≥\frac{1.5×1{0}_{\;}^{13}}{10}=1.5×1{0}_{\;}^{12}$，故太陽(yáng)表面的重力加速度大小可能為地球表面重力加速度的$1{0}_{\;}^{13}$倍，故D正確
本題選錯(cuò)誤的，故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律定律及圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式的直接應(yīng)用，要注意任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應(yīng)大于光速