Question

19．如圖所示，一位宇航員站一斜坡上A點(diǎn)，沿水平方向以初速度v₀拋出一個(gè)小球，測(cè)得小球經(jīng)時(shí)間t落到斜坡上另一點(diǎn)B，斜坡傾角為α，已知該星球的半徑為R，引力常量為G，求：
（1）該星球表面的重力加速度；
（2）該星球的密度．

Answer 1

分析 （1）平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出星球表面的重力加速度．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出星球的質(zhì)量，結(jié)合密度的公式求出星球的密度．

解答 解：（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，落在斜面上時(shí)有：tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$
所以星球表面的重力加速度為：g=$\frac{2{v}_{0}tanα}{t}$．
（2）在星球表面上，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，得：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得星球的質(zhì)量為為：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
星球的體積為：V=$\frac{4}{3}$πR³．
則星球的密度為：ρ=$\frac{M}{V}$
整理得：ρ=$\frac{3{v}_{0}tanα}{2πRtG}$
答：（1）該星球表面的重力加速度為$\frac{2{v}_{0}tanα}{t}$；
（2）該星球的密度是$\frac{3{v}_{0}tanα}{2πRtG}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是要掌握萬(wàn)有引力等于重力這個(gè)理論，知道已知星球表面重力加速度和星球的半徑，能求出星球的質(zhì)量．