Question

15．如圖所示，一邊長為L，質(zhì)量為m，電阻為R的正方形金屬框放置在傾角為θ的光滑的絕緣斜面上，磁場的方向垂直金屬礦平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小只隨y的方向變化，規(guī)律為B=B₀+ky，k為恒定的大于零的常數(shù)．在斜面內(nèi)以平行于x軸的水平初速度O點(diǎn)拋出金屬礦，運(yùn)動一段時(shí)間后金屬礦的速度恒定為v，假設(shè)運(yùn)動過程中金屬框總有兩條邊與y軸平行，且金屬框不轉(zhuǎn)動，當(dāng)金屬框沿y軸方向運(yùn)動距離為h時(shí)速度達(dá)到最大．不計(jì)空氣阻力，斜面和磁場區(qū)域足夠大，重力加速度為g
（1）試求水平速度v₀的大小；
（2）求金屬礦從開始運(yùn)動到達(dá)恒定速度v后，沿y軸方向位移為s時(shí)，金屬框中產(chǎn)生的內(nèi)能多大．

Answer 1

分析 在x方向磁場沒有不會，所以沿x軸方向，兩邊產(chǎn)生感應(yīng)電動勢合為0，安培力為0．
在y方向，上產(chǎn)生感應(yīng)電動之和為E=（B₀+k（y+L））Lv_y-（B₀+ky）Lv_y=kL²v_y，然后根據(jù)歐姆定律和力與平衡列式求解V_y，然后根據(jù)速度的分解求解初速度v₀；
根據(jù)能量守恒定律求產(chǎn)生熱量Q．

解答 解：（1）在x方向磁場沒有不會，所以沿x軸方向，兩邊產(chǎn)生感應(yīng)電動勢合為0，安培力為0，故x方向線框做勻速直線運(yùn)動；在y方向，上產(chǎn)生感應(yīng)電動之和為E=（B₀+k（y+L））Lv_y-（B₀+ky）Lv_y=kL²v_y，穩(wěn)定時(shí)安培力等于重力的分力
即BIL=mgsinθ=B•$\frac{k{L}^{2}{v}_{y}}{R}$L
解得v_y=$\frac{mgRsinθ}{k{BL}^{3}}$
根據(jù)運(yùn)動的合成與分解知v₀=$\sqrt{{v}^{2}-{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{v}^{2}-\frac{{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{k}^{2}{B}^{2}{L}^{6}}}$
（2）根據(jù)能量守恒定律知產(chǎn)生熱量Q=mgssinθ$-\frac{1}{2}m{v}_{y}^{2}$=mgssinθ-$\frac{1}{2}×$m×$（\frac{mgRsinθ}{kB{L}^{3}}）^{2}$=mgssinθ-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{k}^{2}{B}^{2}{L}^{6}}$
答：（1）水平速度v₀的大小為$\sqrt{{v}^{2}-\frac{{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{k}^{2}{B}^{2}{L}^{6}}}$；
（2）金屬礦從開始運(yùn)動到達(dá)恒定速度v后，沿y軸方向位移為s時(shí)，金屬框中產(chǎn)生的內(nèi)能為mgssinθ-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{k}^{2}{B}^{2}{L}^{6}}$．

點(diǎn)評 此題考查電磁感應(yīng)和類平拋運(yùn)動的綜合應(yīng)用，同時(shí)涉及到能量，要注意利用能量守恒求解會比較簡單．