Question

6．如圖所示，ab、cd為間距l(xiāng)=1m的傾斜金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角θ=37°，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，ac間接有R=2.4Ω的電阻．空間存在磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=2T的勻強(qiáng)磁場，方向垂直于導(dǎo)軌平面向上．導(dǎo)軌的上端有長為x₁=0.5m的絕緣涂層，絕緣涂層與金屬棒的動摩擦因數(shù)μ=0.25，導(dǎo)軌的其余部分光滑，將一質(zhì)量m=0.5kg，電阻r=1.6Ω的金屬棒從頂端ac處由靜止釋放，金屬棒從絕緣層上滑出后，又滑行了x₂=1m，之后開始做勻速運(yùn)動．已知：重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）金屬棒剛從絕緣涂層上滑出時(shí)的加速度的大小．
（2）從釋放金屬棒到勻速運(yùn)動，金屬棒上產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）從金屬棒剛滑出絕緣涂層開始計(jì)時(shí)，為使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，可讓磁感應(yīng)強(qiáng)度從B₀開始按一定規(guī)律逐漸變化，試寫出磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）金屬棒開始時(shí)向下做加速運(yùn)動，重力與摩擦力做功，由動能定理即可求出金屬棒剛從絕緣涂層上滑出時(shí)的速度；由E=BLv求出電動勢，然后由閉合電路的歐姆定律求出電流，由安培力的公式以及牛頓第二定律即可求出加速度；
（2）當(dāng)金屬棒受到的安培力與重力沿斜面的分力相等時(shí)，導(dǎo)體棒受到的合力為零，導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動，速度最大，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，由安培力公式及平衡條件即可求出棒下滑的最大速度．然后由能量守恒定律求解金屬棒上產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）為使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，回路中磁通量應(yīng)不變，據(jù)此列式求解．

解答 解：（1）金屬棒開始時(shí)向下做加速運(yùn)動，重力與摩擦力做功，由動能定理得：
$mg{x}_{1}sinθ-μmgcosθ•{x}_{1}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-0$
代入數(shù)據(jù)得：v₁=2m/s
由法拉第電磁感應(yīng)定律，得：E₁=B₀lv₁
由閉合電路歐姆定律，得：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R+r}$
根據(jù)牛頓第二定律得：mgsinθ-B₀lI₁=ma
代入數(shù)據(jù)得：a=2m/s²
（2）當(dāng)棒運(yùn)動的加速度為零時(shí)速度最大，設(shè)最大速度為v₂，則：$mgsinθ=\frac{{{B}_{0}}^{2}{l}^{2}{v}_{2}}{R+r}$
可解得：v₂=3m/s
由動能定理得：$mg{x}_{2}-W=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)可解得：W=1.75J
克服安培力做的功轉(zhuǎn)化為焦耳熱，則：Q=W
故電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為：Q_R=$\frac{r•Q}{R+r}$
代入數(shù)據(jù)得：Q_R=0.7J
（3）當(dāng)回路中的總磁通量不變時(shí)，棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，沿導(dǎo)軌做勻加速運(yùn)動．則有：B₀lx₀=Bl（${x}_{1}+{v}_{2}t+\frac{1}{2}{a}_{3}{t}^{2}$）
由牛頓第二定律得：mgsinθ=ma₃
聯(lián)立解得：B=$\frac{2}{1+6t+6{t}^{2}}$T
答：（1）金屬棒剛從絕緣涂層上滑出時(shí)的加速度的大小為2m/s²．
（2）從釋放金屬棒到勻速運(yùn)動，金屬棒上產(chǎn)生的焦耳熱為0.7J．
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的表達(dá)式為B=$\frac{2}{1+6t+6{t}^{2}}$T．

點(diǎn)評 對金屬棒正確受力分析、分析清楚金屬棒的運(yùn)動過程、應(yīng)用安培力公式、平衡條件等，即可正確解題．要明確產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件：閉合電路的磁通量變化．