Question

2．如圖所示，AB、CD均是固定在同一豎直平面內(nèi)的四分之一光滑圓弧軌道，圓軌道半徑均為R=0.800m，下端點(diǎn)B、C間距L=0.900m，與緊靠的水平傳送帶上表面處于同一高度，傳送帶沿逆時(shí)針?lè)较虻膫鲃?dòng)速度恒為v=1.00m/s，一質(zhì)量m=1.00kg的小物塊從圓弧頂點(diǎn)A由靜止開(kāi)始沿軌道下滑，若物塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.0200，不計(jì)物塊經(jīng)過(guò)軌道與傳送帶連接處B、C時(shí)的機(jī)械能損失，取g=10m/s²，試求：
（1）物塊第一次沿CD軌道上滑的最大高度；
（2）物塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第21次返回AB軌道的過(guò)程中，在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）物塊從第21次至第101次返回AB軌道的過(guò)程中，與傳送帶間摩擦產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）利用機(jī)械能守恒先求出小物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度，再利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小物塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的速度，在C點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)機(jī)械能守恒，有機(jī)械能守恒即可求得上升的高度．
（2）先求出小物塊從B到C的過(guò)程中損失的能量，再用過(guò)假設(shè)法求知何時(shí)小物塊會(huì)與傳送帶具有相同速度，在與初速度有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，可以理解成向一個(gè)方向上的直線運(yùn)動(dòng)，繼而可得知相對(duì)傳送帶運(yùn)動(dòng)的路程，也就可以求出物塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第21次返回AB軌道的過(guò)程中，在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間了．
（3）在第二問(wèn)的基礎(chǔ)上，判斷物塊第21次返回AB軌道后，小物塊是否還能運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，再計(jì)算出小物塊往返一次相對(duì)傳送帶的位移，繼而可計(jì)算出相對(duì)傳送帶的路程，在計(jì)算出此過(guò)程中摩擦力產(chǎn)生的熱量，也就可以計(jì)算出物塊從第21次至第101次返回AB軌道的過(guò)程中，與傳送帶間摩擦產(chǎn)生的熱量了．

解答 解：（1）小物塊從A下滑到B的過(guò)程中機(jī)械能守恒，在B點(diǎn)的速度為：
v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.800}$=4.00m/s
小物塊從B到C的過(guò)程中，位移為s=9m，加速度為a=-μg=-0.0200×10=0.200m/s²，設(shè)到達(dá)C點(diǎn)的速度為v_C，有：
${v}_^{2}$-${v}_{c}^{2}$=2aL
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{c}^{2}$=15.64m²/s²
小物塊沿CD運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，設(shè)上升的高度為h，有：
$\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$=mgh
代入數(shù)據(jù)解得：h=0.782m
（2）小物塊從B到C的過(guò)程中損失的能量為：△E=mg（R-h）=1.00×10×（0.800-0.782）=0.18J
假設(shè)物塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第21次返回AB軌道的過(guò)程時(shí)，速度還是大于1m/s的，
此過(guò)程中損失的總能量為：△E_總=2×21×△E=2×21×0.18=7.56J
此時(shí)小物塊的能量為：E=mgR-△E_總=1.00×10×0.800-7.56=0.44J＜$\frac{1}{2}$×1×1²=0.5J
說(shuō)明在此時(shí)之前小物塊與傳送帶以有了共同速度，假設(shè)錯(cuò)誤．
設(shè)當(dāng)小物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)了n個(gè)BC的長(zhǎng)度時(shí)，與傳送帶具有了相同的速度（由上面的對(duì)假設(shè)的解答可知，小物塊正好是在向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中與傳送帶具有了相同的速度），有：
mgR-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=n×△E
代入數(shù)據(jù)解得：n=$\frac{125}{3}$，取整為41次
當(dāng)小物塊在傳送帶上完成41個(gè)BC的長(zhǎng)度時(shí)的能量為：E'=mgR-41△E=1.00×10×0.800-41×0.18=0.62J
此時(shí)的速度（即為小物塊在B的速度，且方向向左）的平方為：${v}_^{2}$=$\frac{2E′}{m}$=$\frac{2×0.62}{1}$=1.24m²/s²
小物塊以此速度向左運(yùn)動(dòng)到速度與傳送帶速度相同的過(guò)程中有：v²-${v}_^{2}$=2as'
代入數(shù)據(jù)解得：s'=0.600m
在上述過(guò)程中，小物塊在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)始終與傳送帶有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，可把該過(guò)程看成是小物塊一直向一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的初速度為v_B=4.00m/s，末速度為v=1.00m/s的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，該過(guò)程的位移為：s''=41s+s'=41×0.9+0.6=37.5m
運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=$\frac{s″}{\frac{{v}_{B}+v}{2}}$=$\frac{37.5}{\frac{4+1}{2}}$=15s
小物塊還需要隨之傳送帶向左運(yùn)動(dòng)L'=L-s'=0.900-0.600=0.300m才能第21次返回AB軌道，此過(guò)程的時(shí)間為：t₂=$\frac{L′}{v}$=$\frac{0.300}{1}$=0.3s
所以物塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第21次返回AB軌道的過(guò)程中，在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=t₁+t₂=15+0.3=15.3s
（3）由對(duì)第二問(wèn)的解答可知，物塊第21次返回AB軌道后，再次向右運(yùn)動(dòng)從B點(diǎn)滑上傳送帶時(shí)的速度為v=1m/s，后勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度減為零時(shí)相對(duì)于地面的位移為s₁，有：
0-v²=-2μmgs₁
代入數(shù)據(jù)得：s₁=2.5m＞L=0.900m，
說(shuō)明小物塊還能運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，設(shè)小物塊從B到C的時(shí)間為t'，有：
L=vt-$\frac{1}{2}$μgt^′2
代入數(shù)據(jù)解得：t'=1s（另一解t'=9s不符合題意，舍去）
小物塊到達(dá)C點(diǎn)的速度為：${v}_{c}^{′}$=v-μgt=1-0.0200×10×1=0.80m/s
此過(guò)程傳送向右傳到的位移為：s₂=vt'=1×1=1m
小物塊相對(duì)傳送帶的位移為：x₁=L+s₂=0.900+1=1.900m
小物塊從C劃上傳送帶后做加速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到與傳送帶具有相同速度時(shí)的位移為s₃，有：
v²-${v}_{c}^{′2}$=2μgs₃
代入數(shù)據(jù)解得：s₃=0.9m，即小物塊為回到B點(diǎn)時(shí)速度又一次為1m/s，所以后面的運(yùn)動(dòng)會(huì)重復(fù)該過(guò)程．
所以時(shí)間為：t″=$\frac{v-{v}_{c}^{′}}{μg}$=$\frac{1-0.80}{0.0200×10}$=1s
這一過(guò)程中，相對(duì)傳送帶的路程為：S=x₁+vt'-L=1.900+1×1-0.900=2m
此過(guò)程中摩擦力產(chǎn)生的熱量為：Q₁=μmgS=0.0200×1×10×2=0.4J
物塊從第21次至第101次返回AB軌道的過(guò)程中，一共完成了81個(gè)來(lái)回，
所以該過(guò)程中小物塊與傳送帶間摩擦產(chǎn)生的熱量為：
Q=80Q₁=80×0.4=32J
答：（1）物塊第一次沿CD軌道上滑的最大高度為0.782m；
（2）物塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第21次返回AB軌道的過(guò)程中，在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為15.3s；
（3）物塊從第21次至第101次返回AB軌道的過(guò)程中，與傳送帶間摩擦產(chǎn)生的熱量為32J．

點(diǎn)評(píng) 該題是一道難度非常大的題，解答該題時(shí)，要注意一下幾個(gè)方面：
1、能準(zhǔn)確的使用機(jī)械能守恒定律進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，使用時(shí)首先要判斷是否符合守恒的條件，看是否只有重力和相同內(nèi)的彈力做功，或其他力做功的代數(shù)和是否為零．
2、對(duì)于第二三問(wèn)的解答上，弄清楚物塊的應(yīng)該過(guò)程是解答該題的關(guān)鍵．在弄清運(yùn)動(dòng)過(guò)程的基礎(chǔ)上，再利用相關(guān)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，尤其是象該題這種存在往復(fù)運(yùn)動(dòng)的情況，在分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程上一定要仔細(xì)全面．
3、相對(duì)路程的計(jì)算是該題的另一個(gè)難點(diǎn)，在分析問(wèn)題時(shí)，可以結(jié)合運(yùn)動(dòng)的軌跡圖來(lái)分析運(yùn)動(dòng)的過(guò)程．