Question

3．宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量均為m四顆星組成的四星系統(tǒng)，通�？珊雎云渌�星體對它們的引力作用，已知穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在一種形式是（如圖1所示）：三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，第四顆位于其中心，三個頂點上三顆星沿外接等邊三角形的圓形軌道運行，等邊三角形邊長為a，引力常量為G．求：

（1）頂點上星體做勻速圓周運動的軌道半徑R₁；
（2）等邊三角形頂點上星體受的合力F₁；
（3）三顆星沿外接等邊三角形的圓形軌道運行周期T₁；
（4）已知穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在另一種形式是（如圖2所示）：四顆星位于正方形的四個頂點上，四顆星均圍繞正方形的中心做勻速圓周運動，正方形邊長為a．四顆星圍繞正方形中心做勻速圓周運動周期T₂．請判斷T₁和T₂的大小，并說出你判斷的理由．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合幾何關(guān)系即可求出頂點上星體做勻速圓周運動的軌道半徑R₁；
（2）根據(jù)萬有引力定律，結(jié)合矢量合成的方法即可求出等邊三角形頂點上星體受的合力F₁；
（3）明確研究對象，對研究對象受力分析，找到做圓周運動所需向心力的來源．在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力，根據(jù)F_合=mr（$\frac{2π}{T}$）²，求出星體勻速圓周運動的周期．
（4）同（3）的方法求出周期，然后比較即可．

解答 解：（1）對三繞一模式，等邊三角形邊長為a，三顆繞行星軌道半徑均為r，由幾何關(guān)系得三角形的邊長為a=$\sqrt{3}$r，即r₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
（2）根據(jù)矢量合成的方法可得：${F}_{1}=2•\frac{{Gm}^{2}}{{a}^{2}}cos30°+G\frac{{m}^{2}}{{r}_{1}^{2}}$=$\frac{（3+\sqrt{3}）G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
（3）由所受合力等于向心力得
$\frac{（3+\sqrt{3}）G{m}^{2}}{{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}{r}_{1}$
解得：T₁=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（3-\sqrt{3}）{a}^{3}}{2Gm}}$
（4）對于第二種形式：
星體在其他三個星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，其軌道半徑半徑r₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$
由萬有引力定律和向心力公式得：$\frac{G{m}^{2}}{2{a}^{2}}+2\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$cos45°=m${r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
解得：T₁=2πa$\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$
聯(lián)立得：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{（4-\sqrt{2}）（3+\sqrt{3}）}{21}}$≈$\sqrt{0.58}$＜1
答：（1）頂點上星體做勻速圓周運動的軌道半徑是$\frac{\sqrt{3}}{3}$a；
（2）等邊三角形頂點上星體受的合力F₁是$\frac{（3+\sqrt{3}）G{m}^{2}}{{a}^{2}}$；
（3）三顆星沿外接等邊三角形的圓形軌道運行周期T₁是$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（3-\sqrt{3}）{a}^{3}}{2Gm}}$；
（4）已知穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在另一種形式是（如圖2所示）：四顆星位于正方形的四個頂點上，四顆星均圍繞正方形的中心做勻速圓周運動，正方形邊長為a．四顆星圍繞正方形中心做勻速圓周運動周期T₂．則T₁小于T₂的大�。�

點評 知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力．
萬有引力定律和牛頓第二定律是力學(xué)的重點，在本題中有些同學(xué)找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進行正確受力分析．