Question

17．如圖所示，AC、BC兩繩長度不等，一質量為m=0.1kg的小球被兩繩拴住在水平面內做勻速圓周運動．已知AC繩長l=2m，兩繩都拉直時，兩繩與豎直方向的夾角分別為30°和45°．問：
（1）當BC恰好拉直時小球的角速度是多少？當AC恰好拉直時小球的角速度是多少？小球的角速度在什么范圍內兩繩均拉緊？
（2）當ω=3rad/s時，上下兩繩拉力分別為多少？

Answer 1

分析 當AC繩拉直但沒有力時，BC繩子拉力的水平分力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求出此時的角速度，當BC繩拉直但沒有力時，AC繩子拉力的水平分力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求出角速度，當角速度處于兩者之間時，兩繩均張緊；
當ω=3rad/s時，AC、BC繩子拉力的水平分力的合力提供向心力，豎直方向分力之和與重力平衡，根據(jù)牛頓第二定律列式求解．

解答 解：當BC恰好拉直時，BC繩拉力F_T2恰為零時，根據(jù)牛頓第二定律，有：
mgtan30°=mωmin2r
解得：ω_min=2.4 rad/s
當AC繩拉直但沒有力時，即F_T1=0時，由重力和繩BC的拉力F_T2的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
mgtan45°=mωmax2r
其中：r=l•sin30° 
解得：ω_max=3.16 rad/s
所以當2.4 rad/s＜ω＜3.16 rad/s時兩繩均張緊．
當ω=3 rad/s時，兩繩均處于張緊狀態(tài)，此時小球受F_T1、F_T2、mg三力作用，正交分解后可得：
水平方向：F_T1sin30°+F_T2sin45°=mlsin30°ω²
豎直方向：F_T1cos30°+F_T2cos45°=mg          
代入數(shù)據(jù)后解得：
F_T1=0.27 N
F_T2=1.09 N
答：（1）當BC恰好拉直時小球的角速度是2.4rad/s，當AC恰好拉直時小球的角速度是3.16rad/s，小球的角速度在2.4 rad/s＜ω＜3.16 rad/s范圍內兩繩均張緊，
（2）當ω=3rad/s時，AC繩拉力為0.27N，BC繩拉力1.09N．

點評 本題中球做勻速圓周運動，拉力的水平分力提供向心力，關鍵受力分析后根據(jù)牛頓第二定律列式求解．