Question

10．如圖所示，在水平固定的光滑平板上，有一質(zhì)量為m的質(zhì)點P，與穿過中央小孔O的輕繩一端相連著．平板與小孔都是光滑的，用手拉著繩子下端，使質(zhì)點做半徑為a、角速度為ω₀的勻速圓周運動．若繩子突然放松至某一長度b而立即被拉緊，質(zhì)點就能在半徑為b的圓周上做勻速圓周運動，求質(zhì)點由半徑a到半徑b所需的時間及質(zhì)點在半徑為b的圓周上運動的角速度．

Answer 1

分析 （1）繩子放開后，質(zhì)點沿切線方向飛出，做勻速直線運動，結(jié)合幾何關(guān)系，可求運動時間；
（2）繩子放開后，質(zhì)點沿切線方向飛出，做勻速直線運動，到繩子突然張緊時，將速度沿切線方向和半徑方向正交分解，沿半徑方向的分速度突然減為零，以切線方向的分速度繞b軌道勻速圓周運動，由牛頓第二定律和線速度與角速度的關(guān)系公式可求出角速度的大�。�

解答 解：（1）繩子放開后，球沿切線方向飛出，做勻速直線運動，由幾何關(guān)系，位移為：x=$\sqrt{^{2}-{a}^{2}}$，
線速度為：v=ω₀a；
故放開過程的時間為：t=$\frac{x}{v}$=$\frac{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}{{ω}_{0}a}$．
（2）小球沿圓弧切線方向飛出后，到達b軌道時，繩子突然張緊，將速度沿切線方向和半徑方向正交分解，沿半徑方向的分速度突然減為零，以切線方向的分速度繞b軌道勻速圓周運動，由幾何關(guān)系得到，由v_b=vsinθ=$\frac{a}$=$\frac{{a}^{2}{ω}_{0}}$，則角速度ω=$\frac{{v}_}$=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}{ω}_{0}$；
答：質(zhì)點由半徑a到半徑b所需的時間為$\frac{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}{{ω}_{0}a}$．
質(zhì)點在半徑為b的圓周上運動的角速度為$\frac{{a}^{2}}{^{2}}{ω}_{0}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道松手后，小球沿切線方向飛出，繃緊后，沿半徑方向的分速度突然減為零，以切線方向的分速度繞b軌道勻速圓周運動．