Question

圖示為倉庫中常用的皮帶傳輸裝置示意圖，它由兩臺皮帶傳送機組成，一臺水平傳送，A、B 兩端相距3m，另一臺傾斜，傳送帶與地面的傾角θ=37°，C、D 兩端相距4.45m，B、C相距很近．水平部分AB 以5m/s的速率順時針轉動．將質量為10kg 的一袋大米輕輕放在A 端，到達B 端后，速度大小不變地傳到傾斜的CD 部分，米袋與傳送帶間的動摩擦因數(shù)均為0.5．
（1）若CD 部分傳送帶不運轉，求米袋沿傳送帶所能上升的最大距離．
（2）若要米袋能被送到D 端，求CD 部分順時針運轉的速度應滿足的條件及米袋從C 端到D 端所用時間的取值范圍．
（3）在（2）中，若在CD 部分順時針運轉的速度最小時，運送米袋的整個過程中摩擦力對米袋做的功．

Answer 1

分析：（1）由牛頓第二定律可求得米的加速度，因米袋的最大速度只能為5m/s，則應判斷米袋到達B點時是否已達最大速度，若沒達到，則由位移與速度的關系可求得B點速度，若達到，則以5m/s的速度沖上CD；在CD面上由牛頓第二定律可求得米袋的加速度，則由位移和速度的關系可求得上升的最大距離；
（2）米袋在CD上應做減速運動，若CD的速度較小，則米袋的先減速到速度等于CD的速度，然后可能減小到零，此為最長時間；而若傳送帶的速度較大，則米袋應一直減速，則可求得最短時間；
（3）由（2）中所求得最小速度時，米袋到達D點的速度為零，則由動能定理可求得摩擦力所做的功．

解答：解：（1）米袋在AB上加速時的加速度a0=

μmg

m

=μg=5m/s2
米袋的速度達到v₀=5m/s時，
滑行的距離s₀=

v 2 0

2a

=2.5m＜AB=3m，
因此米袋在到達B點之前就有了與傳送帶相同的速度              
設米袋在CD上運動的加速度大小為a，由牛頓第二定律得mgsinθ+μmgcosθ=ma
代入數(shù)據(jù)得  a=10 m/s²
所以能滑上的最大距離 s=

v 2 0

2a

=1.25m
（2）設CD部分運轉速度為v₁時米袋恰能到達D點（即米袋到達D點時速度恰好為零），則米
袋速度減為v₁之前的加速度為a₁=-g（sinθ+μcosθ）=-10 m/s²
米袋速度小于v₁至減為零前的加速度為a₂=-g（sinθ-μcosθ）=-2 m/s²
由

v 2 1 - v 2 0

2a1

+

0- v 2 1

2a2

=4.45m
解得 v₁=4m/s，即要把米袋送到D點，CD部分的速度v_CD≥v₁=4m/s
米袋恰能運到D點所用時間最長為tmax=

v1-v0

a1

+

0-v1

a2

=2.1s
若CD部分傳送帶的速度較大，使米袋沿CD上滑時所受摩擦力一直沿皮帶向上，
則所用時間最短，此種情況米袋加速度一直為a₂．
由S_CD=v₀t_min+

1

2

a₂t²_min，得：t_min=1.16s
所以，所求的時間t的范圍為  1.16 s≤t≤2.1 s；
（3）由動能定理可得：
-mgssin37°-W_f=0-

1

2

mv₁²；
解得W_f=

1

2

mv₁²-mgssin37°=125J-60J=65J； 
米袋克服摩擦力做功65J．

點評：本題難點在于通過分析題意找出臨條界件，注意米袋在CD段所可能做的運動情況，從而分析得出題目中的臨界值為到達D點時速度恰好為零；本題的難度較大．