Question

9．2013年12月1日，西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射了“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器，該探測(cè)器繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得探測(cè)器在離月球表面高度分別為h₁和h₂的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期分別為T(mén)₁和T₂，設(shè)想月球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，萬(wàn)有引力常量為G，僅利用以上數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出（　　）

• A． 月球的質(zhì)量
• B． 探測(cè)器的質(zhì)量
• C． 月球的密度
• D． 探測(cè)器在離月球表面高度為h₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供探測(cè)器做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，列出等式，化簡(jiǎn)計(jì)算質(zhì)量和半徑，再根據(jù)根據(jù)密度公式求出密度．

解答 解：A、由于萬(wàn)有引力提供探測(cè)器做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有：
$G\frac{Mm}{{（R+{h}_{1}）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}（R+{h}_{1}）$；
$G\frac{Mm}{{（R+{h}_{2}）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}（R+{h}_{2}）$，
可求得月球的質(zhì)量為：
M=$\frac{4{π}^{2}（R+{h}_{1}）^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}{（R+{h}_{2}）}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$
由此解得月球的半徑為：
R=$\frac{{h}_{1}\root{3}{{（\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}）}^{2}}-{h}_{2}}{1-\root{3}{{（\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}）}^{2}}}$，在代入上式中可解得月球的質(zhì)量M，故A正確．
B、探測(cè)器是環(huán)繞天體，由題中數(shù)據(jù)只能計(jì)算中心天體月球的質(zhì)量，不能計(jì)算環(huán)繞天體的質(zhì)量，故B錯(cuò)誤．
C、根據(jù)密度公式得：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，由于M和R能解出，故可以解得月球的密度，故C正確．
D、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{（R+{h}_{1}）}^{2}}=m{a}_{1}$，得${a}_{1}=\frac{GM}{{（R+{h}_{1}）}^{2}}$，由于M和R都能計(jì)算出，故可以知道探測(cè)器在離月球表面高度為h₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小，故D正確．
故選：ACD．

點(diǎn)評(píng) 向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．要求解一個(gè)物理量大小，我們應(yīng)該把這個(gè)物理量先表示出來(lái)，再根據(jù)已知量進(jìn)行判斷．