Question

9．飛船沿半徑為R的圓形軌道繞地球做勻速圓周運動，如果要返回地球，可在軌道上某一點A處調(diào)整速率，從而使飛船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運動．橢圓軌道與地球表面在B點相切，如圖所示．已知地球半徑為R₀，地球表面的重力加速度為g．則下列說法正確的是（　　）

• A． 飛船在A點調(diào)整速率時需要加速
• B． 飛船在從A向B運動的過程中機械能是逐漸減小的
• C． 飛船在A點調(diào)整速率后的速率可能大于第一宇宙速度
• D． 飛船從A點運動至B點所需要的時間t=$\frac{π（R+{R}_{0}）}{2{R}_{0}}\sqrt{\frac{R+{R}_{0}}{2g}}$

Answer 1

分析 第一宇宙速度是近地面衛(wèi)星的運行速度，也是最大的環(huán)繞速度．第二宇宙速度是脫離地球引力束縛的速度．根據(jù)萬有引力做功情況，分析速率的變化，并判斷機械能的變化．

解答 解：A、飛船在A點調(diào)整速率時需要減速將做近心運動，故A錯誤；
B、飛船在從A向B運動的過程中只有重力做功，機械能是守恒，故B錯誤
C、根據(jù)G$\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，軌道半徑越小，速度越大，當軌道半徑最小等于地球半徑時，速度等于第一宇宙速度．假設(shè)一位衛(wèi)星繞經(jīng)過遠地點的圓軌道做圓周運動，則此衛(wèi)星的速度一定小于第一宇宙速度，故C錯誤；
D、飛船在半徑為R的圓周上做勻速圓周運動G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM}}$…①
在地球表面重力等于萬有引力，有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}$…②
$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{g{R}_{0}^{2}}}$，
在橢圓軌道上運動的T′根據(jù)開普勒第三定律有：$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=\frac{（\frac{R+{R}_{0}^{\;}}{2}）_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{′2}}$，
得：$T′=\sqrt{\frac{（R+{R}_{0}^{\;}）_{\;}^{3}}{8{R}_{\;}^{3}}}T=π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+{R}_{0}^{\;}）_{\;}^{3}}{2g{R}_{0}^{2}}}$=$\frac{π（R+{R}_{0}^{\;}）}{{R}_{0}^{\;}}\sqrt{\frac{R+{R}_{0}^{\;}}{2g}}$
飛船從A點到B點所需時間為：$t=\frac{T′}{2}=\frac{π（R+{R}_{0}^{\;}）}{2{R}_{0}^{\;}}\sqrt{\frac{R+{R}_{0}^{\;}}{2g}}$，故D正確
故選：D

點評 萬有引力應(yīng)用問題通常要抓住合力提供向心力列式求解，同時本題要抓住飛船軌道與地球半徑的關(guān)系進行分析．