Question

20．如圖所示為某鋼鐵廠的鋼錠傳送裝置，斜坡長為L=20m，高為h=2m，斜坡上緊排著一排滾筒．長為l=8m、質(zhì)量為m=1×10³kg的鋼錠ab放在滾筒上，鋼錠與滾筒間的動摩擦因數(shù)為μ=0.3，工作時由電動機帶動所有滾筒順時針勻速轉(zhuǎn)動，使鋼錠沿斜坡向上移動，滾筒邊緣的線速度均為v=4m/s．假設(shè)關(guān)閉電動機的瞬時所有滾筒立即停止轉(zhuǎn)動，鋼錠對滾筒的總壓力的大小近似等于鋼錠的重力．取當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度g=10m/s²．試求：
（1）鋼錠從坡底（如圖所示位置）由靜止開始運動，直到b端到達(dá)坡頂所需的最短時間．
（2）鋼錠從坡底（如圖所示位置）由靜止開始運動，直到b端到達(dá)坡頂?shù)倪^程中電動機至少要工作多長時間？

Answer 1

分析 （1）欲使b端到達(dá)坡頂所需要的時間最短，需要電動機一直工作，則鋼軌先做勻加速直線運動，當(dāng)它的速度等于滾筒邊緣的線速度后，做勻速直線運動．
（2）欲使電動機工作的時間最短，鋼軌的最后一段運動要關(guān)閉電動機，鋼軌勻減速上升，即鋼軌先加速后勻速，最后減速；故電機工作時間等于除去減速外鋼軌的運動時間．

解答 解：（1）鋼錠開始受到的滑動摩擦力為：f₁=μmg=3×10³N，
設(shè)斜坡與水平面的夾角為α，由牛頓第二定律有：F_f-mgsinα=ma₁，
代入數(shù)據(jù)解得：${a_1}=2m/{s^2}$，
鋼錠做勻加速運動的時間：${t_1}=\frac{v}{a}=2s$，位移：${x_1}=\frac{1}{2}{a_1}t_1^2=4m$，
要使b端到達(dá)坡頂所需要的時間最短，需要電動機一直工作，鋼錠先做勻加速直線運動，
當(dāng)它的速度等于滾筒邊緣的線速度后，做勻速直線運動．鋼錠做勻速直線運動的位移：
x₂=L-l-x₁=8m，做勻速直線運動的時間：${t_2}=\frac{x_2}{v}=2s$，
所需最短時間 t=t₁+t₂=4s；
（2）要使電動機工作時間最短，鋼錠的最后一段運動要關(guān)閉電動機，
鋼錠勻減速上升，b端到達(dá)坡頂時速度剛好為零．
勻減速上升時，由牛頓第二定律得：F_f+mgsinα=ma₂，
代入數(shù)據(jù)解得：${a_2}=4m/{s^2}$，
勻減速運動時間：${t_3}=\frac{v}{a_2}=1s$，
勻減速運動位移：${x_3}=\frac{v}{2}{t_3}=2m$，
勻速運動的位移：x₄=L-l-x₁-x₃=6m，
電動機至少要工作的時間：$t={t_1}+\frac{x_4}{v}=3.5s$；
答：（1）鋼錠從坡底（如圖所示位置）由靜止開始運動，直到b端到達(dá)坡頂所需的最短時間是4s．
（2）鋼錠從坡底（如圖所示位置）由靜止開始運動，直到b端到達(dá)坡頂?shù)倪^程中電動機至少要工作3.5s．

點評 本題關(guān)鍵是明確鋼軌的運動規(guī)律，然后分階段根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，再根據(jù)運動學(xué)公式列式求解．