Question

2．甲，乙兩顆人造衛(wèi)星在同一平面內(nèi)沿同一方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，甲衛(wèi)星距離地面的高度是地球半徑的$\frac{1}{2}$，乙衛(wèi)星距離地面的高度是地球半徑的5倍．某時(shí)刻兩衛(wèi)星相距最近，問(wèn)：經(jīng)過(guò)多少個(gè)乙衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn)？

Answer 1

分析 衛(wèi)星做速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律--周期定律可求周期之比．某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過(guò)地面上同一點(diǎn)的正上方，當(dāng)兩顆衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)角度相差π時(shí)，相距最遠(yuǎn)．

解答 解：（1）由題甲乙兩衛(wèi)星的軌道分別為 r₁=$\frac{3R}{2}$，r₂=6R
由開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=k$，k相同，則得$\frac{{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{r}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$
所以$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{{r}_{1}^{\frac{3}{2}}}{{r}_{2}^{\frac{3}{2}}}$=$\frac{1}{8}$
設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間 二者第一次相距最遠(yuǎn)，若兩衛(wèi)星同向運(yùn)轉(zhuǎn)，此時(shí)甲比乙多轉(zhuǎn)π角度，
則  $\frac{2π}{{T}_{1}}t-\frac{2π}{{T}_{2}}t=π$
這段時(shí)間乙經(jīng)過(guò)的周期數(shù)為n=$\frac{t}{{T}_{2}}$
解得，n=$\frac{1}{14}$
答：經(jīng)過(guò)$\frac{1}{14}$個(gè)乙衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題既可應(yīng)用萬(wàn)有引力提供向心力求解，也可應(yīng)用開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律求解，以后者較為方便，兩衛(wèi)星何時(shí)相距最遠(yuǎn)的求解，要分同向運(yùn)轉(zhuǎn)與反向運(yùn)轉(zhuǎn)兩種情形，用到的數(shù)學(xué)變換相對(duì)較多，增加了本題難度．