Question

2．如圖所示，K與虛線MN之間是加速電場(chǎng)．虛線MN與PQ之間是勻強(qiáng)電場(chǎng)，虛線PQ與熒光屏之間是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且MN、PQ與熒光屏三者互相平行．電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方向如圖所示．圖中A點(diǎn)與O點(diǎn)的連線垂直于熒光屏．一帶正電的粒子從A點(diǎn)離開(kāi)加速電場(chǎng)，速度方向垂直于偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)方向射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，在離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，最后恰好垂直地打在熒光屏上．已知電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域在豎直方向足夠長(zhǎng)，加速電場(chǎng)電壓與偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)關(guān)系為U=$\frac{1}{2}$Ed，式中的d是偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的寬度，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B與偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E和帶電粒子離開(kāi)加速電場(chǎng)的速度v₀關(guān)系符合表達(dá)式v₀=$\frac{E}{B}$，若題中只有偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的寬度d為已知量，求：
（1）磁場(chǎng)的寬度L為多少？
（2）帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中垂直于v₀方向的偏轉(zhuǎn)距離分別是多少？

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理可求得粒子離開(kāi)加速電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能；由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小及方向，由牛頓第二定律可求出粒子在磁場(chǎng)中的半徑，由幾何關(guān)系可求得磁場(chǎng)的寬度；
（2）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得帶電粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)距離，由幾何關(guān)系可求得在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)距離．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，帶電粒子最終垂直地打在熒光屏上，
說(shuō)明帶電粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度與在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度大小相等，方向相反，其軌跡如圖所示：
帶電粒子在加速電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，
帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)偏轉(zhuǎn)角為θ，
則tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，v_y=at，a=$\frac{qE}{m}$，t=$\fraciksiy40{{v}_{0}}$，
解得：θ=45°，豎直速度與水平速度大小相等，帶電粒子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)速度為v=$\sqrt{2}$v₀，
設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的半徑為R，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{qE}$，
 又U=$\frac{1}{2}$Ed，代入解得：R=$\sqrt{2}$d，帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角與在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)相等，
才能垂直打在熒光屏上，由圖可知，磁場(chǎng)寬度L=Rsinθ=d；
（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中的半徑為R=$\sqrt{2}$d，
帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中增加的動(dòng)能與在加速度電場(chǎng)中獲得的動(dòng)能相同，
設(shè)帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)距離為：△y₁=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$（$\fractuwyrba{{v}_{0}}$）²，．
得：△y₁=0.5d，
在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)距離為△y₂，△y₂=R（1-cosθ），
解得：△y₂=0.414d，
答：（1）磁場(chǎng)的寬度L為d；
（2）帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中垂直于v₀方向的偏轉(zhuǎn)距離分別是0.5d、0.414d．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，粒子在電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解方法處理，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是畫軌跡．