Question

3．如圖，在0≤x≤a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，在x＞a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小也為B，質(zhì)量為m，電荷量為q（q＞0）的粒子沿x軸從原點(diǎn)O射入磁場(chǎng)．（粒子重力忽略不計(jì)）
（1）若粒子以v₀=$\frac{\sqrt{2}•Bqa}{m}$的速度射入磁場(chǎng)，求其軌跡與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）為使粒子返回原點(diǎn)O，粒子的入射速度應(yīng)為多大？

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，列式求出軌跡半徑．根據(jù)粒子在0＜x≤a中運(yùn)動(dòng)半徑求出其對(duì)應(yīng)的圓心角，通過(guò)x＞a的區(qū)域后，離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)與x軸垂直，說(shuō)明圓心在x軸上，根據(jù)幾何關(guān)系即可求得橫坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題干確定粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子的半徑，進(jìn)而確定初速度

解答 解：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)軌跡半徑為R．
根據(jù)洛倫茲力提供向心力得 qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由題，v₀=$\frac{\sqrt{2}•Bqa}{m}$，得 R=$\sqrt{2}$a
帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，O₁、O₂分別為軌跡的圓心，由幾何關(guān)系可得θ=45°．
O₁A=O₂A=2a
O₂B=AO=O₁A-R=（2-$\sqrt{2}$）a
則BC=$\sqrt{{O}_{2}{C}^{2}-{O}_{2}{B}^{2}}$=$\sqrt{{R}^{2}-[（2-\sqrt{2}）a]^{2}}$=2$\sqrt{\sqrt{2}-1}$ a
則軌跡與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為：
 x=O₂A+BC=2（1+$\sqrt{\sqrt{2}-1}$）a
（2）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示，設(shè)此時(shí)軌跡半徑為r，則由幾何關(guān)系可得
 r-rcosθ=rcosθ
則cosθ=0.5，即θ=60°
則軌跡半徑r=$\frac{a}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a
而B(niǎo)qv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ 則v=$\frac{2\sqrt{3}Bqa}{3m}$．
答：
（1）其軌跡與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2（1+$\sqrt{\sqrt{2}-1}$）a；
（2）為使粒子返回原點(diǎn)，粒子的入射速度應(yīng)為$\frac{2\sqrt{3}Bqa}{3m}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，關(guān)鍵正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求相關(guān)角度或距離，需要注重提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想．