Question

14．在直角坐標(biāo)系第一象限與第四象限分布有垂直于坐標(biāo)平面的方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小均為B；在第二象限分布有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)在第二象限中從P點(diǎn)以初速度v₀沿x軸正方向發(fā)射質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的粒子，粒子經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好從坐標(biāo)原點(diǎn)O射入磁場(chǎng)．
（1）已知P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為L，勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，試求P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和粒子經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)速度v的大小．
（2）若粒子經(jīng)O點(diǎn)射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為2v₀，試求粒子第三次經(jīng)過x軸時(shí)距O點(diǎn)的距離d和在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間T．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和分運(yùn)動(dòng)的位移公式分別列式，即可求得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x．根據(jù)動(dòng)能定理求粒子經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)速度v的大�。�
（2）由速度的分解可得到粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與x軸正方向的夾角，畫出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，可求出軌跡半徑，由幾何關(guān)系可解得距O點(diǎn)的距離d．根據(jù)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角求磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，有：
 x=v₀t
 L=$\frac{1}{2}$at²；
根據(jù)牛頓第二定律，有 qE=ma
聯(lián)立解得 x=v₀$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的過程，由動(dòng)能定理，有：
 qEL=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2qEL}{m}}$．
（2）由cosθ=$\frac{{v}_{0}}{2{v}_{0}}$=0.5，θ=60°=$\frac{π}{3}$，可知，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與x軸正方向的夾角為 θ=$\frac{π}{3}$
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有 q•2v₀B=m$\frac{（2{v}_{0}）^{2}}{R}$
解得：粒子的軌跡半徑 R=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
粒子第三次經(jīng)過x軸時(shí)距O點(diǎn)的距離 d=4Rsinθ=$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{qB}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 T=4•$\frac{θR}{2{v}_{0}}$=$\frac{4πm}{3qB}$
答：
（1）P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x為v₀$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，粒子經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)速度v的大小為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2qEL}{m}}$．
（2）粒子第三次經(jīng)過x軸時(shí)距O點(diǎn)的距離d是$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{qB}$，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間T是$\frac{4πm}{3qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是根據(jù)粒子在場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的情況，做出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖，利用幾何關(guān)系分析求解．