Question

5．如圖所示，兩根足夠長的固定平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，導(dǎo)軌間的距離為L，導(dǎo)軌上橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd，它們與兩金屬導(dǎo)軌組成閉合回路．已知兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量均為m，導(dǎo)體棒ab在導(dǎo)軌之間的電阻為2R，導(dǎo)體棒cd在導(dǎo)軌之間的電阻為R，導(dǎo)軌光 滑且電阻可忽略不計(jì)，在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度為B．開始時(shí)，導(dǎo)體棒cd靜止，導(dǎo)體棒ab具有水平向右的初速度v₀，此后的運(yùn)動過程中，兩導(dǎo)體始終與金屬導(dǎo)軌垂直且接觸良好．求：
（1）閉合回路中電流的最大值；
（2）兩導(dǎo)體棒運(yùn)動的整個(gè)過程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）當(dāng)導(dǎo)體棒ab的速度大小變?yōu)?\frac{3}{4}$v₀時(shí)，導(dǎo)體棒ab發(fā)熱的功率及其加速度大�。�

Answer 1

分析 （1）當(dāng)導(dǎo)體棒ab剛開始運(yùn)動時(shí)，閉合回路中的磁通量變化率最大，感應(yīng)電動勢最大，所以電流最大，根據(jù)閉合電路歐姆定律列式求解即可；
（2）以兩個(gè)導(dǎo)體棒整體分析不受外力，動量守恒，最終兩導(dǎo)體棒速度相同，然后根據(jù)能量守恒求解焦耳熱；
（3）根據(jù)動量守恒定律求出當(dāng)導(dǎo)體棒ab的速度大小變?yōu)?\frac{3}{4}$v₀時(shí)導(dǎo)體棒cd的速度，再由動生電動勢公式E=BLv確定回路總電動勢，然后利用閉合電路歐姆定律及安培力公式求解安培力，然后利用牛頓第二定律列式求解加速度即可

解答 解：（1）當(dāng)導(dǎo)體棒ab剛開始運(yùn)動時(shí)，閉合回路中的磁通量變化率最大，感應(yīng)電動勢最大，所以電流最大，
最大電動勢為E_m=BLv₀
由閉合電路歐姆定律得：
最大電流為：${I}_{m}=\frac{{E}_{m}}{2R+R}=\frac{BL{v}_{0}}{3R}$
（2）運(yùn)動過程中，兩導(dǎo)體棒沿水平方向不受外力，動量守恒
設(shè)共同速度為v，則：mv₀=2mv
解得：$v=\frac{{v}_{0}}{2}$
整個(gè)過程中兩導(dǎo)體棒組成系統(tǒng)損失的動能全部轉(zhuǎn)化為焦耳熱，根據(jù)能量守恒定律得：
$Q=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}2m（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{4}$
（3）設(shè)ab棒的速度變?yōu)?\frac{3}{4}$時(shí)，cd棒的速度為v'，則由動量守恒可得：$m{v}_{0}=mv′+m\frac{3}{4}{v}_{0}$
解得$v′=\frac{{v}_{0}}{4}$
此時(shí)回路中的電動勢為 $E=BL\frac{3}{4}{v}_{0}-BL\frac{{v}_{0}}{4}=\frac{BL{v}_{0}}{2}$
此時(shí)回路中的電流為$I=\frac{E}{3R}=\frac{BL{v}_{0}}{6R}$
 導(dǎo)體棒的發(fā)熱功率為：$P={I}^{2}2R=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{18R}$
此時(shí)ab棒所受的安培力為 $F=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{6R}$
由牛頓第二定律可得，ab棒的加速度為：$a=\frac{F}{m}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{6Rm}$
答：（1）閉合回路中電流的最大值為$\frac{BL{v}_{0}}{3R}$；
（2）兩導(dǎo)體棒運(yùn)動的整個(gè)過程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{4}$；
（3）當(dāng)導(dǎo)體棒ab的速度大小變?yōu)?\frac{3}{4}$v₀時(shí)，導(dǎo)體棒ab發(fā)熱的功率為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{18R}$，其加速度大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{6R}$

點(diǎn)評 本題是動量守恒定律、牛頓第二定律及能量守恒定律在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的應(yīng)用問題，分析兩棒組成的系統(tǒng)在運(yùn)動過程中是不是合外力為零或者內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力的系統(tǒng)總動量守恒的條件，從而為確定兩棒最后的末速度找到解決途徑是關(guān)鍵，之后分析這類電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化較易：系統(tǒng)減少的動能轉(zhuǎn)化為回路的焦耳熱；求棒的瞬時(shí)加速度問題較為復(fù)雜：是動生電動勢、動量守恒定律、牛頓第二定律及閉合電路歐姆定律綜合的力電綜合問題，故本題屬于難題