Question

15．在豎直平面內(nèi)，一根光滑金屬桿彎成如圖1所示形狀，相應(yīng)的曲線方程為y=5.0cos（kx+$\frac{2π}{3}$）（單位：m），式中k=$\frac{1}{5}$m^-1，桿足夠長，圖中只畫出了一部分．將一質(zhì)量為m=1.0kg的小環(huán)（可視為質(zhì)點）套在桿上，取g=10m/s²．

（1）若使小環(huán)以v₁=10m/s的初速度從x=0處沿桿向下運動，求小環(huán)運動到x=$\frac{5π}{3}$（m）處時的速度的大小；
（2）一般的曲線運動可以分成許多小段，每一小段都可以看成圓周的一部分，即把整條曲線用系列不同的小圓弧代替，如圖2所示，曲線上A點的曲率圓的定義為：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側(cè)的兩點做一圓，在極限的情況下，這個圓叫做A點的曲率圓．其半徑ρ叫做A點的曲率半徑．若小環(huán)從x=0處以v₂=5$\sqrt{10}$m/s的速度出發(fā)沿桿向下運動，到達(dá)軌道最低點P時桿對小環(huán)的彈力大小為70N，求小環(huán)經(jīng)過軌道最高點Q時桿對小環(huán)的彈力多大．

Answer 1

分析 （1）先據(jù)曲線方程求出小環(huán)運動到x=$\frac{5π}{3}$（m）時的高度，再據(jù)機(jī)械能守恒求出該點的速度．
（2）先據(jù)機(jī)械能守恒和牛頓運動定律求出再低點的曲率半徑，再利用機(jī)械能守恒和牛頓運動定律求出最高點時與桿的作用力．

解答 解：（1）由曲線方程可知：環(huán)在x=0處的y的坐標(biāo)是：y=-$\frac{5}{2}$m，
x=$\frac{5π}{3}$m時，y=5cos（kx+$\frac{2}{3}$π）=5cos（$\frac{1}{5}$×$\frac{5}{3}$π+$\frac{2}{3}$π）=-5m，
由動能定理得：mg（5-$\frac{5}{2}$）=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²，代入數(shù)據(jù)解得：v=5$\sqrt{6}$m/s；
（2）小環(huán)從x=0到p過程，由動能定理得：
mg（5-$\frac{5}{2}$）=$\frac{1}{2}$mv_P²-$\frac{1}{2}$mv₂²，代入數(shù)據(jù)解得：v_P=10$\sqrt{3}$m/s，
在p點，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{ρ}$，代入數(shù)據(jù)解得：ρ=5m，
小環(huán)從p到Q過程，由動能定理得：mg×（-10）=$\frac{1}{2}$mv_Q²-$\frac{1}{2}$mv_P²，
代入數(shù)據(jù)解得：v_Q=10m/s；
在Q點，由牛頓第二定律得：F_N1+mg=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{ρ}$，
代入數(shù)據(jù)解得：F_N1=10N；
答：（1）若使小環(huán)以v₁=10m/s的初速度從x=0處沿桿向下運動，小環(huán)運動到x=$\frac{5π}{3}$（m）處時的速度的大小為5$\sqrt{6}$m/s；
（2）小環(huán)經(jīng)過軌道最高點Q時桿對小環(huán)的彈力為10N．

點評 本題和數(shù)學(xué)的上的方程結(jié)合起來，根據(jù)方程來確定物體的位置，從而利用機(jī)械能守恒來解題，題目新穎．