Question

4．如圖所示，在一寬為D=0.80m的豎直深井中，長為L=0.40m的細(xì)繩上端系一質(zhì)量不計(jì)的環(huán)，環(huán)套在光滑水平桿上，在細(xì)線的下端吊一個(gè)質(zhì)量為m=0.5kg的鐵球（可視作質(zhì)點(diǎn)），球離地的高度h=4.05m，當(dāng)繩受到大小為10N的拉力時(shí)即會(huì)斷裂．現(xiàn)讓環(huán)與球一起以v=2m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，在A處環(huán)被擋住而立即停止，A離右壁的水平距離也為L=0.40m．不計(jì)空氣阻力，球與井壁的碰撞為彈性碰撞、且碰撞時(shí)間極短忽略不計(jì)，g取10m/S²，試求：
（1）在環(huán)被擋住而立即停止時(shí)繩對(duì)小球的拉力大��？
（2）在以后的運(yùn)動(dòng)中，球與地面碰撞是屬于第幾次碰撞？小球第一次碰撞井壁與碰撞軟泥地面的時(shí)間差是多少？
（3）球第一次的落地點(diǎn)離井底壁角B點(diǎn)的距離？小球碰到軟泥地面時(shí)損失了80%的機(jī)械能，
然后滾動(dòng)到壁角B點(diǎn)恰好停下，則泥沙對(duì)小球運(yùn)動(dòng)的平均阻力多大？

Answer 1

分析 （1）在環(huán)由運(yùn)動(dòng)到被擋住而立即停止后，小球立即以速率v繞A點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由重力與繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出繩子的拉力；
（2）由上面的結(jié)果知道，環(huán)被A擋住的瞬間繩恰好斷裂，此后小球做平拋運(yùn)動(dòng)．假設(shè)沒有井壁阻擋，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出小球平拋下落的時(shí)間和水平距離．由于球與井壁的碰撞為彈性碰撞，由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性求碰撞的次數(shù)和兩次碰撞的時(shí)間差．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理得到泥沙對(duì)小球運(yùn)動(dòng)的平均阻力．

解答 解：（1）在環(huán)被擋住而立即停止后小球立即以速率v繞A點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律有：
$F-mg=m\frac{v^2}{L}$…①
繩對(duì)小球的拉力大小為：F=2mg=10N…②
（2）根據(jù)上面的計(jì)算可知，在環(huán)被A擋住的瞬間繩恰好斷裂，此后小球做平拋運(yùn)動(dòng)．若小球沒有井壁阻擋，小球平拋下落時(shí)間為：
$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=0.9s$…③
水平距離為：s=vt=1.80m…④
由于球與井壁的碰撞為彈性碰撞，由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，且有：1.80m=0.40m+D+0.60m…⑤
可分析出球碰撞了井壁2次，故球與地面碰撞是第3次碰撞．小球開始做平拋運(yùn)動(dòng)到第一次碰撞所用時(shí)間為：
${t_1}=\frac{L}{v}=0.2s$…⑥
故兩次碰撞的時(shí)間差為：△t=t-t₁=0.7s…⑦
（3）由（2）分析可知，小球碰地點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為：x=D-0.60m=0.20m…⑧
小球碰地前瞬時(shí)的動(dòng)能為：$E=\frac{1}{2}m{v^2}+mgh$…⑨
根據(jù)動(dòng)能定理，依題意有：$-\overline fx=0-20%E$…⑩
由⑧⑨⑩式，并代入數(shù)據(jù)，可解得：$\overline f=21.25N$…（11）
答：（1）在環(huán)被擋住而立即停止時(shí)繩對(duì)小球的拉力大小是10N．
（2）在以后的運(yùn)動(dòng)中，球與地面碰撞是屬于第3次碰撞，小球第一次碰撞井壁與碰撞軟泥地面的時(shí)間差是0.7s．
（3）球第一次的落地點(diǎn)離井底壁角B點(diǎn)的距離是0.20m，泥沙對(duì)小球運(yùn)動(dòng)的平均阻力為21.25N．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，運(yùn)用假設(shè)法判斷小球能否與墻碰撞．小球與墻碰撞過程，與光的反射相似，具有對(duì)稱性．