Question

7．2011年11月，“神舟八號”飛船與“天宮一號”目標(biāo)飛行器在太空實現(xiàn)了兩次交會對接，開啟了我國空間站的新紀(jì)元．完成對接后，“神舟八號”與“天宮一號”在同一圓形軌道上運行．地面觀測站測得它們的運行周期為T，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g．求：
（1）“神舟八號”與“天宮一號”對接后距離地面的高度h；
（2）“神舟八號”與“天宮一號”對接后運行速度的大小υ．

Answer 1

分析 在地球表面重力與萬有引力相等，在飛船軌道上萬有引力提供圓周運動向心力，據(jù)此分析計算即可．

解答 解：（1）在地面上，重力與萬有引力大小相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$可得：GM=gR²
在軌道上萬有引力提供圓周運動向心力有：$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得：$h=\root{3}{\frac{{T}^{2}}{4{π}^{2}}g{R}^{2}}-R$=$\root{3}{\frac{{T}^{2}}{4{π}^{2}}g{R}^{2}}-R$$\sqrt{\frac{{T}^{2}}{4{π}^{2}}g{R}^{2}}-R$
（2）根據(jù)周期與線速度和半徑的關(guān)系有：v=$\frac{2π（R+h）}{T}=\frac{2π\(zhòng)root{3}{\frac{{T}^{2}}{4{π}^{2}}g{R}^{2}}}{T}$=$\root{3}{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}}$
答：（1）“神舟八號”與“天宮一號”對接后距離地面的高度h為$\sqrt{\frac{{T}^{2}}{4{π}^{2}}g{R}^{2}}-R$；
（2）“神舟八號”與“天宮一號”對接后運行速度的大小υ為$\root{3}{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}}$．

點評 本題考查了求高度與線速度問題，應(yīng)用牛頓第二定律、線速度與周期的關(guān)系即可正確解題．