Question

4．如圖所示，光滑軌道ABCD，水平部分AB與BCD平滑連接，BCD是半徑為R=0.2米半圓周．一個質量為m的物體（可看成質點）從A點以初速度V₀向右運動．求：
（1）當物體的初速度V₀為多大時，物體可以沿原路徑返回．
（2）要求物體能通過最高點D，從D點射出后，落在AB上的E點（E點未畫出）求EB最小時，物體在AB上的初速度為多大．
（3）當物體以V₀=$\sqrt{7}$m/s初速度水平向右運動時，求物體上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）物體最高運動到C點由動能定理求得最大速度；
（2）物體剛好能通過最高點時在水平方向通過的位移最小，根據(jù)牛頓第二定律求得速度，有動能定理求得速度
（3）物體將在CD之間脫離軌道做斜拋運動，由動能定理可得求得到達軌道的最高點，然后做斜拋運動，求得最終高度

解答 解：（1）要使物體沿原路徑返回，物體最高到達C點，根據(jù)動能定理可得：
$-mgR=0-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.2}m/s=2m/s$
故速度最大為2m/s
（2）物體剛好能通過最高點，EB最小，剛好通過最高點的速度為v，根據(jù)牛頓第二定律可得：$mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{2}m/s$
有動能定理可得：$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得：${v}_{0}=\sqrt{10}m/s$
（3）物體將在CD之間脫離軌道做斜拋運動，由動能定理可得：
$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}=\frac{1}{2}mv{′}^{2}+mg（R+Rsinθ）$
$mgsinθ=\frac{mv{′}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：θ=30°，v′=1m/s
然后做斜拋運動，上身高度為h
（v′sin60°）²=2gh
解得：h=0.0375m
上升高度為：H=R+h=0.2375m
答：（1）當物體的初速度V₀為2m/s時，物體可以沿原路徑返回．
（2）要求物體能通過最高點D，從D點射出后，落在AB上的E點（E點未畫出），EB最小時，物體在AB上的初速度為$\sqrt{10}m/s$．
（3）當物體以V₀=$\sqrt{7}$m/s初速度水平向右運動時，物體上升的最大高度為0.2375m

點評 本題主要考查了動能定理，關鍵是抓住臨界條件，特別是第三問，找出脫離軌道的位置即可求解